Διανυσματική απο ολυμπιάδα

batmsup1 · #1

Απο τη μαθηματική ολυμπιάδα του 1973. Κάποια σημεία στη λύση με δυσκολεύουν. Αξιοποιεί όμως κάποιες παρατηρήσεις. Ίσως τη λύσετε και διαφορετικά.

Έστω $\varepsilon$ ευθεία στο επίπεδο και

ένα σημείο της. Τα $\vec{OP_{1}},...,\vec{OP_{n}}$ είναι μοναδιαία και τέτοια ώστε τα σημεία $P_{1},...,P_{n}$ να βρίσκοντε σε ενα επίπεδο $\pi$ που περιέχει την $\varepsilon$ και στο ένα απ τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζει η $\varepsilon$ επι του $\pi$ . Αν n περιττός, δείξτε οτι $\left|\vec{OP_{1}}+\vec{OP_{2}}+...+\vec{OP_{n}} \right|\geq 1$ .

#2

batmsup1 έγραψε:Απο τη μαθηματική ολυμπιάδα του 1973. Κάποια σημεία στη λύση με δυσκολεύουν. Αξιοποιεί όμως κάποιες παρατηρήσεις. Ίσως τη λύσετε και διαφορετικά.

Έστω ε ευθεία στο επίπεδο και Ο ένα σημείο της. Τα $\vec{OP_{1}},...,\vec{OP_{n}}$ είναι μοναδιαία και τέτοια ώστε τα σημεία $P_{1},...,P_{n}$ να βρίσκοντε σε ενα επίπεδο π που περιέχει την ε και στο ένα απ τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζει η ε επι του π. Αν n περιττός, δείξτε οτι $\left|\vec{OP_{1}}+\vec{OP_{2}}+...+\vec{OP_{n}} \right|\geq 1$

εδώ

S.E.Louridas · #3

Ας μου επιτραπεί και μία βιβλιογραφική αναφορά:
Είναι το 1ο από τα θέματα της 15ης Ι. Μ. Ο. (1973) και βρίσκεται λυμένο
στην σελίδα 159 του βιβλίου της Ε.Μ.Ε.: «ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ 1959-2000, Α.Φελλούρης, Π.Βλάμος, Α.Δούναβης,
Σ.Λουρίδας, Ε.Ράππος».

#4

S.E.Louridas έγραψε:Ας μου επιτραπεί και μία βιβλιογραφική αναφορά:
Είναι το 1ο από τα θέματα της 15ης Ι. Μ. Ο. (1973) και βρίσκεται λυμένο
στην σελίδα 159 του βιβλίου της Ε.Μ.Ε.: «ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ 1959-2000, Α.Φελλούρης, Π.Βλάμος, Α.Δούναβης,
Σ.Λουρίδας, Ε.Ράππος».

Να συμπληρώσω πως περιέχεται και στο βιβλίο:
"The I.M.O Compendium A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiads 1959-2004" στη σελίδα 401, (λύση με χρήση επαγωγής)
των
Djukic,Jankovic,Matic,Petrovic.

S.E.Louridas · #5

chris_gatos έγραψε:
S.E.Louridas έγραψε:Ας μου επιτραπεί και μία βιβλιογραφική αναφορά:
Είναι το 1ο από τα θέματα της 15ης Ι. Μ. Ο. (1973) και βρίσκεται λυμένο
στην σελίδα 159 του βιβλίου της Ε.Μ.Ε.: «ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ 1959-2000, Α.Φελλούρης, Π.Βλάμος, Α.Δούναβης,
Σ.Λουρίδας, Ε.Ράππος».
Να συμπληρώσω πως περιέχεται και στο βιβλίο:
"The I.M.O Compendium A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiads 1959-2004" στη σελίδα 401, (λύση με χρήση επαγωγής)
των
Djukic,Jankovic,Matic,Petrovic.

Ακριβώς, είναι όπως τα λέει ο Άριστος συνάδελφος Χρήστος.
Και επί τη ευκαιρεία η Απόδειξη στο εν λόγω πρόβλημα, μέσω της μεθόδου της τέλειας επαγωγής που ανέφερε ο Χρήστος, ήταν και η επίσημη απόδειξη του προτείνοντος κράτους του προβλήματος αυτού. Σε κάποιες περιπτώσεις συγγραφών, προτιμώνται οι λύσεις των προτεινόντων τα αντίστοιχα προβλήματα και αυτό είναι κατά την άποψη μου καλό, για λόγους που είναι κατανοητοί.

batmsup1 · #6

Ευχαριστώ και την κυρία Φωτεινή για το σύνδεσμο και τον chris gato (δεν είναι εύκολο να εντοπίσω πάντα αν έχει τεθεί ξανά και είμαι και νέος στο mathematica) και τον κύριο Λουρίδα για το σχολιασμό. Φυσικά και τους λύτες. Έχω το βιβλίο της ΕΜΕ με τα θέματα των ολυμπιάδων αλλά στη λύση που προτείνεται, αναφέρει σαν λήμμα οτι το άθροισμα 2 διανυσμάτων περιέχεται πάντα μεταξύ της γωνίας τους, απο κανόνα παραλληλογράμου. Είναι μια παρατήρηση στη διανυσματική άθροιση, που αν και προφανής δεν τη σκεπτόμουν όταν τη διδαχτήκαμε Διαισθητικά φαίνεται προφανές αλλά τυπικά αναρωτήθηκα πως θα εκφράσουμε μαθηματικά οτι ένα διάνυσμα περιέχεται μεταξύ της γωνίας 2 άλλων, πως αποδεικνύεται δηλαδή. Φαντάζομαι ίσως με τον υπολογισμό της γωνίας μεταξύ του $\vec{u}+\vec{v}$ με το $\vec{u}$ . Σ αυτό θα θελα μια διευκρίνηση.

S.E.Louridas · #7

Απλά και σε πρώτη φάση μπορούμε να πούμε ότι έχουμε το γεωμετρικό δεδομένο:
σε ένα παραλληλόγραμμο π.χ. ABCD

(κυρτό σχήμα), κάθε διαγώνιος του είναι εσωτερική των γωνιών, τις κορυφές των οποίων συνδέει.

(*) Με την ευκαιρία θα ήθελα να πώ ότι θα πρέπει να ρωτάμε τους διδάσκοντες, χωρίς προηγουμένως να "φιλτράρουμε" την ερώτηση μας με βάση το σκεπτικό "έχει γούστο να ρωτήσω κάτι που θα με ξεφτιλίσει". Οι ερωτήσεις προς τον διδάσκοντα αποτελούν "πρόκληση" και γιά τον ίδιο τον διδάσκοντα, πολλαπλά.
Ντροπή δεν είναι να θέλουμε να μάθουμε μέσω ερωτήσεων, ντροπή είναι να θέλουμε να κρύψουμε το ότι κάτι δεν ξέρουμε αφού έτσι είναι ορατό το ενδεχόμενο να μη το μάθουμε ποτέ.

batmsup1 · #8

Συμφωνώ κύριε Λουρίδα με το σχόλιο. Έθεσα την άσκηση για να δω πως θα αιτιολογούσε κάποιος το σημείο που με προβλημάτιζε, θα έπρεπε να το πω στην εκφώνηση. Όμως και για να δω διαφορετικές λύσεις και προβληματισμούς για να ωφεληθώ, όπως και έγινε απο τους συνδέσμους που μου προτάθηκαν. Τελικά είναι ανεξάντλητος ο πλούτος του mathematica... Είναι εντυπωσιακό που παρόλο που η διανυσματική άθροιση είναι τετριμμένο θέμα στα βιβλία, τη συγκεκριμένη παρατήρηση δεν την είχα καθαρά στο μυαλό μου ανα πάσα στιγμή ενώ είναι απλό να το δει κανείς. Για απόδειξη μέσω κυρτότητας συμφωνώ. Απλά διαβαζοντας τη λύση στο βιβλίο κάτι δε μου καθόταν καλά στην εν λόγω παρατήρηση, ήθελα μια αυστηρή αντιμετώπιση και το κυριότερο εκνευρίστηκα που δεν το χα άμεσα υπόψη! Μου μοιάζει λίγο με ένα ερώτημα που μας έβαλαν κάποτε στο σχολείο και έλεγε να υπολογιστεί το γινόμενο 107 x 93 και όλοι έκαναν την πράξη, ενώ όλοι γνώριζαν την ταυτότητα $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ . Μετά μας λέει ο Πλάτων οτι η γνώση είναι ανάμνηση....

#9

batmsup1 έγραψε:Ευχαριστώ και την κυρία Φωτεινή για το σύνδεσμο (δεν είναι εύκολο να εντοπίσω πάντα αν έχει τεθεί ξανά και είμαι και νέος στο mathematica) και τον κύριο Λουρίδα για το σχολιασμό. Φυσικά και τους λύτες. Έχω το βιβλίο της ΕΜΕ με τα θέματα των ολυμπιάδων αλλά στη λύση που προτείνεται, αναφέρει σαν λήμμα οτι το άθροισμα 2 διανυσμάτων περιέχεται πάντα μεταξύ της γωνίας τους, απο κανόνα παραλληλογράμου. Είναι μια παρατήρηση στη διανυσματική άθροιση, που αν και προφανής δεν τη σκεπτόμουν όταν τη διδαχτήκαμε Διαισθητικά φαίνεται προφανές αλλά τυπικά αναρωτήθηκα πως θα εκφράσουμε μαθηματικά οτι ένα διάνυσμα περιέχεται μεταξύ της γωνίας 2 άλλων, πως αποδεικνύεται δηλαδή. Φαντάζομαι ίσως με τον υπολογισμό της γωνίας μεταξύ του $\vec{u}+\vec{v}$ με το $\vec{u}$ . Σ αυτό θα θελα μια διευκρίνηση.

Συγνώμη και πάλι που παρεμβαίνω. Στην παράθεση που έκανα υπάρχει και δεύτερη λύση που στηρίζεται πάλι στην επαγωγή και σε αυτήν ακριβώς την παρατήρηση.
Αυτά,καλό απόγευμα.

batmsup1 · #10

Ξέχασα να σας ευχαριστήσω κύριε Κυριαζή για το σύνδεσμο. Την είχα δει τη λύση εκεί, διαφέρει λίγο απο την επίσημη που κυκλοφορεί, απλά ξέχασα να σας συμπεριλάβω στο αρχικό μήνυμα. Το διόρθωσα όμως. Γενικά μου έμεινε το αίσθημα μέσα μου γιατί δεν το χα υπόψη άμεσα ενώ γνωρίζω περι διανυσματικής άθροισης και παραλληλογράμμου? Πριν τη θέσω εδώ την πάλεψα την άσκηση πολύ και με πολλές προσεγγίσεις, οπότε ο προβληματισμός τελικά είναι ιδιαίτερα γόνιμος και ωφέλιμος ας μην κατάφερα να οδηγηθώ στην επίσημη λύση.

#11

batmsup1 έγραψε:Ξέχασα να σας ευχαριστήσω κύριε Κυριαζή για το σύνδεσμο. Την είχα δει τη λύση εκεί, διαφέρει λίγο απο την επίσημη που κυκλοφορεί, απλά ξέχασα να σας συμπεριλάβω στο αρχικό μήνυμα. Το διόρθωσα όμως. Γενικά μου έμεινε το αίσθημα μέσα μου γιατί δεν το χα υπόψη άμεσα ενώ γνωρίζω περι διανυσματικής άθροισης και παραλληλογράμμου? Πριν τη θέσω εδώ την πάλεψα την άσκηση πολύ και με πολλές προσεγγίσεις, οπότε ο προβληματισμός τελικά είναι ιδιαίτερα γόνιμος και ωφέλιμος ας μην κατάφερα να οδηγηθώ στην επίσημη λύση.

Δεν το έκανα για να με ευχαριστήσεις. Θεωρώ χρέος μου και το έχω κάνει πολλές φορές στο παρελθόν, να δίνω τις πηγές μου.Από εκεί διαβαζω κι εγώ.

batmsup1 · #12

Το ξέρω.

S.E.Louridas · #13

Από την άλλη μεριά, αν έχουμε τα ΜΗ συγγραμμικά διανύσματα
$\overrightarrow {OA} ,\;\overrightarrow {OB}$
με

το μέσο του ευθ. τμήματος

, άρα το

που είναι εσωτερικό του ευθ. τμήματος

, θα είναι και εσωτερικό της γωνίας $\left( {\overrightarrow {OA} ,\;\overrightarrow {OB} } \right)$ ,
παίρνουμε
$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OT} = \overrightarrow {OM} \Leftrightarrow M \in OT.$

(*) Ας μη ξεχνάμε ότι όταν μιλάμε γιά γωνία ημιευθειών κοινής αρχής στην Γεωμετρία, εννοούμε το κυρτό μέρος του επιπέδου που ορίζεται μεταξύ αυτών.

#14

S.E.Louridas έγραψε: (*) Με την ευκαιρία θα ήθελα να πώ ότι θα πρέπει να ρωτάμε τους διδάσκοντες, χωρίς προηγουμένως να "φιλτράρουμε" την ερώτηση μας με βάση το σκεπτικό "έχει γούστο να ρωτήσω κάτι που θα με ξεφτιλίσει". Οι ερωτήσεις προς τον διδάσκοντα αποτελούν "πρόκληση" και γιά τον ίδιο τον διδάσκοντα, πολλαπλά.
Ντροπή δεν είναι να θέλουμε να μάθουμε μέσω ερωτήσεων, ντροπή είναι να θέλουμε να κρύψουμε το ότι κάτι δεν ξέρουμε αφού έτσι είναι ορατό το ενδεχόμενο να μη το μάθουμε ποτέ.

Aυτό Σωτήρη, είναι η ουσία της μάθησης.

Διανυσματική απο ολυμπιάδα

Διανυσματική απο ολυμπιάδα

Re: Διανυσματική απο ολυμπιάδα

Re: Διανυσματική απο ολυμπιάδα

Re: Διανυσματική απο ολυμπιάδα

Re: Διανυσματική απο ολυμπιάδα

Re: Διανυσματική απο ολυμπιάδα

Re: Διανυσματική απο ολυμπιάδα

Re: Διανυσματική απο ολυμπιάδα

Re: Διανυσματική απο ολυμπιάδα

Re: Διανυσματική απο ολυμπιάδα

Re: Διανυσματική απο ολυμπιάδα

Re: Διανυσματική απο ολυμπιάδα

Re: Διανυσματική απο ολυμπιάδα

Re: Διανυσματική απο ολυμπιάδα

Μέλη σε σύνδεση