εξετασεις β΄ λυκειου

sorfan · #1

Καλησπέρα σε όλους.
Στέλνω συνημμένα τα σημερινά θέματα στα μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου.
Περιμένω τα σχόλιά σας.

A.Spyridakis · #2

Θετική κατ/ση δεν είχε καθόλου το τμήμα μέσα?

chris · #3

Πολύ πρωτότυπο το τέταρτο θέμα είμαι σίγουρος οτι δεν θα το περίμεναν οι μαθητές.Κατα τα άλλα κλασσικά τα βρίσκω προσωπικά.

Ιστοσελίδα · #4

Ωραία τα θεματάκια Σπύρο.
Τα πήγαν καλά τα παιδιά;

sorfan · #5

A.Spyridakis έγραψε:Θετική κατ/ση δεν είχε καθόλου το τμήμα μέσα?

Τι εννοείς Αντώνη;

chris έγραψε:Πολύ πρωτότυπο το τέταρτο θέμα είμαι σίγουρος οτι δεν θα το περίμεναν οι μαθητές.Κατα τα άλλα κλασσικά τα βρίσκω προσωπικά.

Τα δύο θέματα πράγματι είναι κλασικά.
Αυτό αποτελεί βασικό στοιχείο της σκέψης μου όταν βάζω θέματα στο σχολείο γαι τους εξής λόγους:
1. Πρόκειται για εξετάσεις και όχι για διαγωνισμό κατάταξης των μαθητών. Επομένως, με ενδιαφέρει να διαπιστώσω αν έχουν οι εμπεδωθεί βασικές έννοιες, αν δηλαδή οι μαθητές μου και σε ποιο ποσοστό έχουν τις στοιχειώδεις γνώσεις που απαιτούνται για να προαχθούν στην επόμενη τάξη. Αυτό αποτελεί και ένα κριτήριο για το τι έκανα και εγώ ως καθηγητής τους όλη τη χρονιά.
2. Είναι γεγονός ότι στο σύνολο των μαθητών υπάρχουν διαφορετικά επίπεδα μαθηματικής γνώσης. Θεωρώ λοιπόν ότι το να δώσω θέματα που βρίσκονται μακριά από το πνεύμα του σχολικού βιβλίου, κάπως περίεργα τα περισσότερα, δεν βοηθάω τους μαθητές που προσπαθούν και βρίσκονται σε μια μέση κατάσταση. Πολλές φορές δε απογοητεύονται και καλοί μαθητές. Για τους άριστους υπάρχει το 4ο θέμα.

A.Spyridakis · #6

sorfan έγραψε:
A.Spyridakis έγραψε:Θετική κατ/ση δεν είχε καθόλου το τμήμα μέσα?
Τι εννοείς Αντώνη;

Εννοώ Σπύρο πως, εκτός από το υποερώτημα 4Δ (1 μονάδα στις 20), τα υπόλοιπα παραήταν απλά (σχεδόν όλα, εφαρμογές τύπων). Γι' αυτό ρώτησα αν υπήρχε κανείς της θετικής στο τμήμα. Όχι βέβαια ότι οι μαθητές της θετικής είναι πάντα καλύτεροι της τεχνολογικής, αλλά στατιστικά, κάτι τέτοιο συνήθως συμβαίνει. Ε σου 'πα την αλήθεια, ό,τι σκέφτηκα. Ψέματα να σου πω?
Εκθέτοντας εδώ ένα διαγώνισμά σου Σπύρο, μια εργασία σου, μια σκέψη σου, θεωρώ ότι δεν είσαι αρνητικός στην όποια κριτική. Γι' αυτό δεν το κάνεις εξάλλου ("Περιμένω τα σχόλιά σας")?
Αν βέβαια πιστεύεις ότι είμαι κακοπροαίρετος και φυσικά όχι αντικειμενικός, παρακαλώ ενημέρωσέ με, να μην ξανασχολιάσω τίποτα δικό σου.

ΥΓ Τελικά τι επίπεδο είχε το τμήμα?

ΥΓ2 Θα στείλω κι εγώ τα δικά μου και περιμένω τα σχόλιά σου!!!

Ιστοσελίδα · #7

A.Spyridakis έγραψε:
sorfan έγραψε:
A.Spyridakis έγραψε:Θετική κατ/ση δεν είχε καθόλου το τμήμα μέσα?
Τι εννοείς Αντώνη;
Εννοώ Σπύρο πως, εκτός από το υποερώτημα 4Δ (1 μονάδα στις 20), τα υπόλοιπα παραήταν απλά (σχεδόν όλα, εφαρμογές τύπων). Γι' αυτό ρώτησα αν υπήρχε κανείς της θετικής στο τμήμα. Όχι βέβαια ότι οι μαθητές της θετικής είναι πάντα καλύτεροι της τεχνολογικής, αλλά στατιστικά, κάτι τέτοιο συνήθως συμβαίνει. Ε σου 'πα την αλήθεια, ό,τι σκέφτηκα. Ψέματα να σου πω?
Εκθέτοντας εδώ ένα διαγώνισμά σου Σπύρο, μια εργασία σου, μια σκέψη σου, θεωρώ ότι δεν είσαι αρνητικός στην όποια κριτική. Γι' αυτό δεν το κάνεις εξάλλου ("Περιμένω τα σχόλιά σας")?
Αν βέβαια πιστεύεις ότι είμαι κακοπροαίρετος και φυσικά όχι αντικειμενικός, παρακαλώ ενημέρωσέ με, να μην ξανασχολιάσω τίποτα δικό σου.

ΥΓ Τελικά τι επίπεδο είχε το τμήμα?
ΥΓ2 Θα στείλω κι εγώ τα δικά μου και περιμένω τα σχόλιά σου!!!

Αντώνη καταλαβαίνω το πνεύμα των θεμάτων του Σπύρου, διότι εγώ σήμερα πέρασα μία ψιλό απογοήτευση με την άλγεβρα viewtopic.php?f=21&t=7348

Ενώ λοιπόν πριν μία βδομάδα το μισό ίδιο τμήμα (εκτός των θεωρητικής) είχαν πάει πολύ καλά στην κατεύθυνση και αναλογικά με τις δυνάμεις τους, σήμερα στην άλγεβρα μάλλον δεν πήγαν αρκετά καλά, αφού με μία πρόχειρη ματιά ούτε σωστά πεδία ορισμού δεν έχουμε στις εξισώσεις.

sorfan · #8

A.Spyridakis έγραψε:
sorfan έγραψε:
A.Spyridakis έγραψε:Θετική κατ/ση δεν είχε καθόλου το τμήμα μέσα?
Τι εννοείς Αντώνη;
Εννοώ Σπύρο πως, εκτός από το υποερώτημα 4Δ (1 μονάδα στις 20), τα υπόλοιπα παραήταν απλά (σχεδόν όλα, εφαρμογές τύπων). Γι' αυτό ρώτησα αν υπήρχε κανείς της θετικής στο τμήμα. Όχι βέβαια ότι οι μαθητές της θετικής είναι πάντα καλύτεροι της τεχνολογικής, αλλά στατιστικά, κάτι τέτοιο συνήθως συμβαίνει. Ε σου 'πα την αλήθεια, ό,τι σκέφτηκα. Ψέματα να σου πω?
Εκθέτοντας εδώ ένα διαγώνισμά σου Σπύρο, μια εργασία σου, μια σκέψη σου, θεωρώ ότι δεν είσαι αρνητικός στην όποια κριτική. Γι' αυτό δεν το κάνεις εξάλλου ("Περιμένω τα σχόλιά σας")?
Αν βέβαια πιστεύεις ότι είμαι κακοπροαίρετος και φυσικά όχι αντικειμενικός, παρακαλώ ενημέρωσέ με, να μην ξανασχολιάσω τίποτα δικό σου.

ΥΓ Τελικά τι επίπεδο είχε το τμήμα?
ΥΓ2 Θα στείλω κι εγώ τα δικά μου και περιμένω τα σχόλιά σου!!!

Αντώνη, δεν αναφέρθηκα στην κριτική σου. Ίσα - ίσα αυτό ακριβώς θέλω και γι αυτό τα δημοσιοποιώ. Απλά δεν κατάλαβα το τμήμα. Έτσι που τα διάβασα εγώ έψαχνα για θέμα με ευθύγραμο τμήμα, απόσταση κλπ

. Επομένως καμία παρεξήγηση. Τα τμήματα ήταν δύο της τεχνολογικής και ένα της θετικής. Έχεις δίκιο το τμήμα της θετικής έχει τους καλύτερους μαθητές. Το 4δ τελικά δεν λύθηκε από κανένα. Βρήκαν τα δύο σημεία δεν μπόρεσαν όμως να σκεφτούν πως μπορούσαν να προκύψει το τρίτο σημείο.

#9

Τελικά, το 4Δ πως αντιμετωπίζεται με Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου;

S.E.Louridas · #10

Με κάθε επιφύλαξη,
Στην μία περίπτωση εχουμε την τομή του κύκλου με διάμετρο το ΑΒ και του άξονα 0χ
και στην άλλη του κύκλου με διάμετρο το ΒΔ (Δ συμμετρικό του Β ως πρός Οχ) και του άξονα Οχ
Λύση,γενικά, δύο πολύ απλών συστημάτων δηλαδή αφού η μία εξίσωση είναι η y=0.

S.E.Louridas

Υ.Γ 1. Μία προσπάθεια απάντησης στον φίλο μου τον Κώστα.
Υ.Γ 2. Προφανώς η μία από τις λύσεις του δεύτερου συστήματος απορρίπτεται λόγω τών ορίων κίνησης του Ρ.

A.Spyridakis · #11

rek2 έγραψε:Τελικά, το 4Δ πως αντιμετωπίζεται με Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου;

Ως εξής:
Αν χ<-2, τότε $\lambda _{AP} \cdot \lambda _{BP} = 1$ κτλ.
Αν $-2\leq x\leq 14$ , τότε $(-\lambda _{AP}) \cdot \lambda _{BP} = 1$ κτλ., ενώ
αν χ>14, τότε $(-\lambda _{AP}) \cdot (-\lambda _{BP}) = 1$ , που είναι ίδια με την 1η περίπτωση.
Αν έκανα καλά σωστά τις πράξεις, βγαίνουν $x=5- \sqrt{57}, 5\pm \sqrt{15}$ .
Οι περιπτώσεις να μην ορίζεται κάποιος από τους παραπάνω λ δεν παίζουν (προφανές, από το σχήμα).

ΥΓ. Σπύρο, όλα καλά!

sorfan · #12

Μόλις βρήκα το χρόνο έγραψα μια λύση του Δ4 και τη στέλνω με το συνημμένο αρχείο.

sorfan · #13

A.Spyridakis έγραψε:
rek2 έγραψε:Τελικά, το 4Δ πως αντιμετωπίζεται με Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου;
Ως εξής:
Αν χ<-2, τότε $\lambda _{AP} \cdot \lambda _{BP} = 1$ κτλ.
Αν $-2\leq x\leq 14$ , τότε $(-\lambda _{AP}) \cdot \lambda _{BP} = 1$ κτλ., ενώ
αν χ>14, τότε $(-\lambda _{AP}) \cdot (-\lambda _{BP}) = 1$ , που είναι ίδια με την 1η περίπτωση.
Αν έκανα καλά σωστά τις πράξεις, βγαίνουν $x=5- \sqrt{57}, 5\pm \sqrt{15}$ .
Οι περιπτώσεις να μην ορίζεται κάποιος από τους παραπάνω λ δεν παίζουν (προφανές, από το σχήμα).

ΥΓ. Σπύρο, όλα καλά!

Αντώνη, πραγματικά το σχήμα σου δίνει τη δυνατότητα να "παίξεις" με συντελεστές διεύθυνσης και ή λύση σου πολύ καλή. Στη δική μου λύση η προσέγγιση γίνεται με εσωτερικό γινόμενο καθέτων διανυσμάτων.

Υ/Γ: Τώρα που το ξανασκέφτομαι πως είμαστε σίγουροι ότι π.χ. για την ΑΡ ορίζεται πάντα συντελεστής διεύθυνσης;

A.Spyridakis · #14

sorfan έγραψε:Υ/Γ: Τώρα που το ξανασκέφτομαι πως είμαστε σίγουροι ότι π.χ. για την ΑΡ ορίζεται πάντα συντελεστής διεύθυνσης;

Μα, όπως είπα, αν δεν οριζόταν, τότε η άλλη γωνία θα έπρεπε να είναι μηδενική, που δε γίνεται (από το σχήμα).
Μου ξεφεύγει κάτι?

sorfan · #15

A.Spyridakis έγραψε:
sorfan έγραψε:Υ/Γ: Τώρα που το ξανασκέφτομαι πως είμαστε σίγουροι ότι π.χ. για την ΑΡ ορίζεται πάντα συντελεστής διεύθυνσης;
Μα, όπως είπα, αν δεν οριζόταν, τότε η άλλη γωνία θα έπρεπε να είναι μηδενική, που δε γίνεται (από το σχήμα).
Μου ξεφεύγει κάτι?

Αντώνη δεν σου ξεφεύγει κάτι, έχεις δίκιο.

S.E.Louridas · #16

Επιτρέψτε μου ένα μεθοδολογικό σχόλιο.
Αν κάποιος μαθητής έχει μυηθεί σε Γεωμετρικό περιβάλλον και έχει κατανοήσει οτι η Μαθηματική σκέψη είναι ,ουσιαστικά, ΜΙΑ θα μπορούσε να πάει (προφανώς οχι κατ' ανάγκη άμεσα) στην άποψη-λύση που ανέφερα πιό πάνω.Τα συστήματα στα οποία οδηγούμαστε είναι πράγματι πολύ απλά.

S.E.Louridas

#17

Μία αντιμετώπιση στο τελευταίο ερώτημα με εσωτερικό γινόμενο.

: 26-05-2010 Analytikh.png (25.51 KiB) Προβλήθηκε 3224 φορές

Έστω Ρ(x, 0).

Είναι: $\displaystyle \overrightarrow {{\rm P}{\rm A}} = \left( { - 1 - x,\;7} \right),\;\;\overrightarrow {{\rm P}{\rm B}} = \left( {11 - x,\;3} \right)$

Έστω Β΄ (11, -3), το συμμετρικό του Β ως προς τον x΄x.
$\displaystyle \overrightarrow {{\rm P}{\rm B}} = \left( {11 - x,\; - 3} \right)$

Τότε, αφού $\displaystyle \widehat{{\rm B}{\rm P}\Delta } = \widehat{{\rm B}'{\rm P}\Delta }$ , λόγω συμμετρίας, για x < -2 ή x > 14 $\displaystyle \widehat{A{\rm P}\Gamma } + \widehat{{\rm B}{\rm P}\Delta } = 90^\circ \; \Leftrightarrow \;\widehat{{\rm A}{\rm P}{\rm B}'} = 90^\circ \; \Leftrightarrow \;\overrightarrow {{\rm P}{\rm A}} \cdot \overrightarrow {{\rm P}{\rm B}'} = 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \;x^2 - 10x - 32 = 0\; \Leftrightarrow \;...\; \Leftrightarrow \;x = \frac{{10 \pm \sqrt {228} }}{2}$

Η ρίζα $\displaystyle x = \frac{{10 - \sqrt {228} }}{2} \cong - 2,5$ είναι δεκτή, ενώ η ρίζα $\displaystyle x = \frac{{10 + \sqrt {228} }}{2} \cong 12,5$ απορρίπτεται.

Για -2 < x < 14 $\displaystyle \widehat{A{\rm P}\Gamma } + \widehat{{\rm B}{\rm P}\Delta } = 90^\circ \; \Leftrightarrow \;\widehat{{\rm A}{\rm P}{\rm B}} = 90^\circ \; \Leftrightarrow \;\overrightarrow {{\rm P}{\rm A}} \cdot \overrightarrow {{\rm P}{\rm B}} = 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \;x^2 - 10x - 10 = 0\; \Leftrightarrow \;...\; \Leftrightarrow \;x = \frac{{10 \pm \sqrt {60} }}{2} = 5 \pm \sqrt {15}$

Οι ρίζες $\displaystyle x = 5 + \sqrt {15} \cong 8,9\;\;\kappa \alpha \iota \;x = 5 - \sqrt {15} \cong 1,1$ , είναι δεκτές.

Παρατηρώ ότι για x = 2 ή x = 14 δεν ορίζονται οι γωνίες που ζητά η εκφώνηση.

Γιώργος Ρίζος

Δίνω και το αρχείο Geogebra, όπου φαίνεται "δυναμικά" η επίλυση.

sorfan · #18

Rigio έγραψε:
Γιώργος Ρίζος

Δίνω και το αρχείο Geogebra, όπου φαίνεται "δυναμικά" η επίλυση.

Γιώργο, ευχαριστούμε για τη δυναμική επίλυση.
Στο συνημμένο έχω συμπεριλάβει και τη λύση με κύκλο.

#19

Αγαπητοί φίλοι
Σκεφτόμουν μήπως υπάρχει κάτι πιο "καραμπινάτο" με Αναλυτική Γεωμετρία.

Επειδή πρέπει να αποδειχτεί η ύπαρξη τριών σημείων- από την εκφώνηση δεν χρειάζεται να βρεθούν αυτά, ούτε μιλάμε για ακριβώς τρία σημεία-, για μεν τα δύο πρώτα αρκούσε να δειχτεί ότι ο κύκλος διαμέτρου ΑΒ τέμει τον άξονα των χ, πράγμα που διαπιστώνεται εύκολα, μιας και η απόσταση του κέντρου Μ από αυτόν είναι μικρότερη της ακτίνας του. Για το τρίτο θα αρκούσε να δειχτεί ότι το Γ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου διαμέτρου ΑΒ΄ (προφανώς με διάμετρο το ΒΑ΄ προκύπτει τό ίδιο σημείο), που και αυτό διαπιστώνεται εύκολα, μιας και απόστασή του από το κέντρο είναι μικρότερη της ακτίνας. Ότι το τρίτο σημείο είναι διαφορετικό από τα προηγούμενα δύο προκύπτει από την σχετική τους θέση ως προς το Γ.

Χωρίς να εξετάζω την δυσκολία του ερωτήματος, αναρωτιούμουν αν υπάρχει λύση που να προκύπτει αβίαστα από την ύλη των Μαθηματικών κατεύθυνσης και μόνο....
Να είστε όλοι καλά και σας ευχαριστώ για τον χρόνο και τον κόπο σας!

S.E.Louridas · #20

Μία άποψη μου:
Θα ήθελα να πώ ότι η άσκηση είναι προσεγμένη αρκετά ,διότι επικρέμεται τό ερώτημα:
Άν τα σημεία τομής του κύκλου διαμέτρου ΑΒ με τον άξονα Οχ δημιουργούσαν διάστημα 'ΥΠΕΡΣΥΝΟΛΟ' του διαστήματος ΓΔ και χωρίς να έχουν κοινά άκρα Θα τα δεχόμασταν αυτά τα σημεία τομής;
Αρα αν τελικά μπαίνει ' στο παιχνίδι ' αναγκαιότητα διερεύνησης τότε μάλλον πρέπει να βρίσκουμε τά σημεία τομής.

S.E.Louridas

εξετασεις β΄ λυκειου

εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Re: εξετασεις β΄ λυκειου

Μέλη σε σύνδεση