Μιγαδικη Δευτεροβαθμια

solars · #1

Εαν η δευτεροβάθμια εξίσωση $\displaystyle{a {z^2} + \beta z + \gamma = 0}$ , $\displaystyle{z \in C}$ με μιγαδικούς συντελεστές $\displaystyle{a,\beta ,\gamma }$ έχει δυο ρίζες με ίδιο μέτρο τότε:

$\displaystyle{\left| a \right| \bar \beta \gamma = \bar a \beta \left| \gamma \right|}$

Edit από Γενικούς Συντονιστές: σβήστηκαν, εκεί που δεν χρειάζονταν, οι κουκκίδες "\cdot" ως σύμβολο του πολλαπλασιασμού.

Math Rider · #2

Έστω $\displaystyle{ z_1 ,z_2 }$ οι ρίζες της εξίσωσης. Από τους τύπους του Vieta και την υπόθεση έχουμε ότι
$\displaystyle{ z_1 + z_2 = - \frac{\beta }{\alpha } }$ (1)
$\displaystyle{ z_1 z_2 = \frac{\gamma }{\alpha } }$ (2)
$\displaystyle{ \left| {z_1 } \right| = \left| {z_2 } \right| = \kappa }$ (3)

Παίρνοντας μετρά στην (2) έχουμε: $\displaystyle{ \left| {z_1 z_2 } \right| = \left| {\frac{\gamma }{\alpha }} \right| \Rightarrow \left| {z_1 } \right|\left| {z_2 } \right| = \frac{{\left| \gamma \right|}}{{\left| \alpha \right|}}\mathop \Rightarrow \limits^{(3)} \kappa ^2 = \frac{{\left| \gamma \right|}}{{\left| \alpha \right|}} }$ (4)

Επίσης από την (1) έχουμε: $\displaystyle{ z_1 + z_2 = - \frac{\beta }{\alpha } \Rightarrow \bar z_1 + \bar z_2 = - \frac{{\bar \beta }}{{\bar \alpha }}\mathop \Rightarrow \limits^{(3)} \frac{{\kappa ^2 }}{{z_1 }} + \frac{{\kappa ^2 }}{{z_2 }} = - \frac{{\bar \beta }}{{\bar \alpha }} \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \kappa ^2 \frac{{z_1 + z_2 }}{{z_1 z_2 }} = - \frac{{\bar \beta }}{{\bar \alpha }}\mathop \Rightarrow \limits^{(1),(2)} \kappa ^2 \left( { - \frac{\beta }{\gamma }} \right) = - \frac{{\bar \beta }}{{\bar \alpha }} \Rightarrow \kappa ^2 = \frac{{\bar \beta \gamma }}{{\bar \alpha \beta }} }$ (5)

Από τις (4) και (5) τώρα προκύπτει: $\displaystyle{ \frac{{\bar \beta \gamma }}{{\bar \alpha \beta }} = \frac{{\left| \gamma \right|}}{{\left| \alpha \right|}} \Rightarrow \left| \alpha \right|\bar \beta \gamma = \bar \alpha \beta \left| \gamma \right| }$

Μιγαδικη Δευτεροβαθμια

Μιγαδικη Δευτεροβαθμια

Re: Μιγαδικη Δευτεροβαθμια

Μέλη σε σύνδεση