ρίζα εξίσωσης και ανισοτική σχέση

#1

Αν x είναι αριθμός που ικανοποιεί την εξίσωση:

$\displaystyle{ \sqrt[3]{{x + 9}} - \sqrt[3]{{x - 9}} = 3 }$

τότε να υπολογίσετε μεταξύ ποιών αριθμών κυμαίνεται το $\displaystyle{ x^2 }$

(α) μεταξύ 55 και 65

(β) μεταξύ 65 και 75

(γ) μεταξύ 75 και 85

(δ) μεταξύ 85 και 95

(ε) μεταξύ 95 και 105

(Παρακαλώ με απόδειξη.)

#2

Αν και μάλλον άλλο είναι το νόημα του ερωτήματος, ας μου επιτραπεί να ''λύσω'' την εξίσωση:

Από την ταυτότητα Euler, λόγω της συνθήκης προκύπτει

$\displaystyle{\left(\sqrt[3]{x+9} \right)^3 +\left(-\sqrt[3]{x-9} \right)^3 +(-3)^3 =3(-3)\sqrt[3]{x+9}(-\sqrt[3]{x-9}),}$

δηλαδή

$\displaystyle{x+9-(x-9)-27=9\sqrt[3]{x^2 -81}}$

δηλαδή

$\displaystyle{x^2 =80.}$

Άρα το σωστό είναι το γ.

#3

Ας παρατηρήσουμε ακόμα chris, ότι (για τα δικά μας δεδομένα) πρέπει $\displaystyle{x\geq 9}$ άρα σίγουρα $\displaystyle{x^2 \geq 81.}$

Οπότε, αποκλείονται κατευθείαν τα α),β).

nonlinear · #4

matha έγραψε:Ας παρατηρήσουμε ακόμα chris, ότι (για τα δικά μας δεδομένα) πρέπει $\displaystyle{x\geq 9}$ άρα σίγουρα $\displaystyle{x^2 \geq 81.}$

Οπότε, αποκλείονται κατευθείαν τα α),β).

Επειδη ειναι για ΑΣΕΠ γιατι πρεπει χ>=9 εφοσον εχουμε κυβικη ριζα(;) και επιπλεον μιλαμε μονο για πραγματικους(;).

A.Spyridakis · #5

Θάνο, γιατί νομίζω πως η λύση σου (sqrt(82)) δεν επαληθεύει την αρχική εξίσωση?

#6

Γιατί απ'ότι φαίνεται η εξίσωση είναι τελικα αδύνατη (στους πραγματικούς.)

Τότε λοιπόν, όλες οι απαντήσεις είναι σωστές!

Έχει ο καιρός γυρίσματα.

A.Spyridakis · #7

Έτσι φαίνεται!
Πού είσαι Χρήστο να μας πεις τι είχες στο μυαλό σου???

#8

nonlinear έγραψε:
matha έγραψε:Ας παρατηρήσουμε ακόμα chris, ότι (για τα δικά μας δεδομένα) πρέπει $\displaystyle{x\geq 9}$ άρα σίγουρα $\displaystyle{x^2 \geq 81.}$

Οπότε, αποκλείονται κατευθείαν τα α),β).
Επειδη ειναι για ΑΣΕΠ γιατι πρεπει χ>=9 εφοσον εχουμε κυβικη ριζα(;) και επιπλεον μιλαμε μονο για πραγματικους(;).

Aναφορικά με το πρώτο ερώτημα, φαντάζομαι ότι ακολουθούνται οι συμβάσεις των σχολικών βιβλίων.

Για το δεύτερο, η παρουσία συμβόλων κυβικής ρίζας είναι αρκετή για να περιοριστούμε στους πραγματικούς (εκτός και αν μπλέξουμε με πλειονότιμες συναρτήσεις, που δε νομίζω

)

A.Spyridakis · #9

Στη δεύτερη γραμμή (ή, για να είμαι ακριβής, αμέσως μετά) της λύσης σου έχεις ένα μικρό λαθάκι, που με ταλαιπωρεί τόση ώρα! (έεεεε έχω και μυωπία ο κακομοίρης!)
Λοιπόν, αντί x^2=82

είναι

, και πράγματι η λύση $x=-\sqrt{80}$ ικανοποιεί την εξίσωση (ΟΧΙ με τα σχολικά δεδομένα βέβαια).

Άρα πράγματι, σωστό είναι το (γ)!

#10

Καλημέρα!

Ζητώ ταπεινά συγνώμη γιατί χτές παρεδόθην σε ασύστολο ύπνο και δε μπόρεσα να παρακολουθήσω την κουβέντα.

Όντως υπάρχει πρόβλημα στο ''σκαρωμα'' της λύσης.

Η άσκηση ήταν απο τα Αnnual High school Contests της Αμερικής (εξού και το ''κυβικό'' να ισούται με αρνητικό αριθμό

κτλ).

Η σωστή απάντηση για εκείνον το διαγωνισμό ήταν η (γ).

Για το δικό μας (αν τελικά διαγωνισθούν οι καθηγητές στο αντικειμενό τους), δεν την ξέρω.

Ή μάλλον την ξέρω, αδύνατη!

Καλό μάθημα σε όλους!

ρίζα εξίσωσης και ανισοτική σχέση

ρίζα εξίσωσης και ανισοτική σχέση

Re: ρίζα εξίσωσης και ανισοτική σχέση

Re: ρίζα εξίσωσης και ανισοτική σχέση

Re: ρίζα εξίσωσης και ανισοτική σχέση

Re: ρίζα εξίσωσης και ανισοτική σχέση

Re: ρίζα εξίσωσης και ανισοτική σχέση

Re: ρίζα εξίσωσης και ανισοτική σχέση

Re: ρίζα εξίσωσης και ανισοτική σχέση

Re: ρίζα εξίσωσης και ανισοτική σχέση

Re: ρίζα εξίσωσης και ανισοτική σχέση

Μέλη σε σύνδεση