Τι λέτε γι'αυτό;

[chris_gatos]

Σε ένα τμήμα Α' Γενικού Λυκείου η Αλγεβρα και η Γεωμετρία διδάσκονται απο διαφορετικούς καθηγητές.Ο καθηγητής
που διδάσκει Άλγεβρα σ'ένα διαγώνισμα που έβαλε,έθεσε στους μαθητές το παρακάτω θέμα:
Αν οι αριθμοί α,β είναι θετικοί να αποδείξετε ότι .
Ένας απο τους μαθητές έγραψε τα εξής:
Αν κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές ,τότε η υποτείνουσα θα έχει μήκος .
Γνωρίζουμε όμως ότι η υποτείνουσα είναι μικρότερη απο το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών,επομένως ισχύει η
σχέση που μας ζητείται.
Ο καθηγητής δε θεώρησε ολοκληρωμένη την απάντηση του μαθητή,χωρίς να τη θεωρήσει λανθασμένη.
1)Είχε δίκιο ο καθηγητής,στην κρίση του;
2)Πιστεύετε πως είναι σκόπιμο να παρουσιάζονται τέτοιες προσεγγίσεις στο μάθημα της Αλγεβρας
,ή θα πρέπει οι μαθητές να ακολουθούν την πεπατημένη,δηλαδή Αλγεβρα με μεθόδους Αλγεβρας,Γεωμετρία με μεθόδους Γεωμετρίας...κτλ


Σχόλιο
Θα ήθελα την ενεργό συμμετοχή όλων των συναδέλφων σε τέτοια θέματα,που μόνο καλό θα μας κάνουν.
Ακόμη περισσότερο,θα ήθελα τις προτάσεις τους σε ανάλογα θέματα.Τι στην ευχή;; 500 είμαστε πλέον...
Καλημέρα σας!

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Χρήστο καλημέρα.
Είναι πάντα κατασκευάσιμα τα μήκη των πλευρών για οποιουσδήποτε πραγματικούς θετικούς α,β;
Νομίζω πως όχι, οπότε η γεωμετρική λύση είναι ελλειπής, ενώ η αλγεβρική πλήρης.
Θ.Ρ

[chris_gatos]

Καλημέρα Θωμά.Φυσικά και δεν είναι...Έκει στηρίζεται και το διδακτικό επεισόδιο που μου διδάχτηκε στο σεμινάριο της
Ε.Μ.Ε.
Θα ήθελα με την ευκαιρία να παρακαλέσω τους εμπειρότερους και πιο ''ψημένους'' καθηγητές να παραθέτουν που και που τα δικά τους ...διδακτικά επεισόδια!Για να πούμε και όλη την αλήθεια ο Μ.Λάμπρου έχει δώσει αρκετά τέτοια,που έχουν δημοσιευτεί στο βιβλίο ''Επαναληπτικά θέματα στα μαθηματικά της Γ'ΛΥΚΕΊΟΥ'' καθώς και στο τελευταίο τεύχος του ''φ''.
Δεν κάνω διαφήμιση,αλλά νομίζω πως οφείλω την αναφορά,αν μη τι άλλο.Το καλό να λέγεται.Οι νέοι συνάδελφοι (κι εγώ συμπεριλαμβάνομαι μέσα σε αυτούς),μόνο ωφελημένοι βγαίνουν,διαβάζοντας σωστά.

[kostas.zig]

1) Νομίζω ότι ο καθηγητής κάνει λάθος . Οφείλει να θεωρήσει σωστή την απόδειξη και στην θέση του θα επιβράυευα λεκτικά τον μαθητή για την παρατηρητικότητα και τη σύνδεση της Γεωμετρίας με την Άλγεβρα. Όλα αυτά ισχύουν με την προυπόθεση ότι τα α, β είναι θετικοί αριθμοί. (πράγμα που πρέπει βέβαια να επισημάνει ο καθηγτής)

2) Φυσικά πρέπει να συνδέουμε την Γεωμετρία με την Άλγεβρα. Να σημειώσω εδώ ότι προσωπικά τα τρία τελευταία χρόνια (μετανιώνω που παλιότερα δεν το έκανα) σε πολλές παραγράφους στην 'Αλγεβρα (π.χ. προόδους) (να υπολογιστει το άθροισμα 1+2+3+...+ν και 1+3+5+...(2ν-1) εισαγωγικά προτρέπω του μαθητές να βρουν γεωμετρικά το άθροισμα (το ίδιο βέβαια όταν γίνεται στην επαγωγή Β' Λυκείου). Οι μαθητές στην αρχή μπορεί να μην τα καταφέρνουν , τους δίνω ένα μέρος του σχήματος και τους αφήνω να σκεφθούν την πρόταση που αποδείχτηκε. Ένα ωραίο βιβλίο που κυκλοφορεί στα ελληνικά είναι "Αποδείξεις χωρίς λόγια" του Roger Nelsen.
Να σημειώσω τέλος ότι βλέπω μεγάλη χαρά για την γεωμετρική επιβεβαίωση μιας αλγεβρικής σχέσης στα μάτια των μαθητών. Μετά στο άθροισμα 1+2+3+...+ν τους ζητάω να ψάξουν και σε άλλα σχήματα την αλήθεια της πρότασης και παράλληλα τους ζητάω να αναζητήσουν διάφορες αποδείξεις της σχέσης Γεωμετρικές ή μή.

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Χρήστο αυτό που λες είναι καλή ιδέα, αλλά κατά κάποιο τρόπο γίνεται.
Μη ξεχνάς ότι ο καθένας μπορεί να δώσει ή αυτό που ξέρει ή αυτό που θέλει.
Στο παλιό mathimatica-pathfinder είχαν δοθεί τέτοια ερωτήματα και νομίζω ότι και εδώ θα τεθούν
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Ο Χρήστος μας είπε ότι:
Ο καθηγητής δε θεώρησε ολοκληρωμένη την απάντηση του μαθητή,χωρίς να τη θεωρήσει λανθασμένη
και ερώτησε αν
1)Είχε δίκιο ο καθηγητής,στην κρίση του;
2)Πιστεύετε πως είναι σκόπιμο να παρουσιάζονται τέτοιες προσεγγίσεις στο μάθημα της Αλγεβρας
,ή θα πρέπει οι μαθητές να ακολουθούν την πεπατημένη,δηλαδή Αλγεβρα με μεθόδους Αλγεβρας,Γεωμετρία με μεθόδους Γεωμετρίας...κτλ

κατά την άποψή μου ο καθηγητής είχε δίκιο και επιβράβευσε τον μαθητή του για τη λύση του, γνωρίζοντας ότι αυτή δεν ήταν πλήρης, άρα λάθος.
Και βέβαια ο διδάσκων μπορεί να παρουσιάζει διάφορες γεωμετρικές προσεγγίσεις σε αλγεβρικά θέματα, αρκεί η προσέγγιση να έχει πρακτικό και ουσιαστικό αποτέλεσμα.
Με το δικαίωμα στο λάθος
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης

[kostas.zig]

Ο Χρήστος μας είπε ότι:
Ο καθηγητής δε θεώρησε ολοκληρωμένη την απάντηση του μαθητή,χωρίς να τη θεωρήσει λανθασμένη
και ερώτησε αν
1)Είχε δίκιο ο καθηγητής,στην κρίση του;
2)Πιστεύετε πως είναι σκόπιμο να παρουσιάζονται τέτοιες προσεγγίσεις στο μάθημα της Αλγεβρας
,ή θα πρέπει οι μαθητές να ακολουθούν την πεπατημένη,δηλαδή Αλγεβρα με μεθόδους Αλγεβρας,Γεωμετρία με μεθόδους Γεωμετρίας...κτλ

κατά την άποψή μου ο καθηγητής είχε δίκιο και επιβράβευσε τον μαθητή του για τη λύση του, γνωρίζοντας ότι αυτή δεν ήταν πλήρης, άρα λάθος.
Και βέβαια ο διδάσκων μπορεί να παρουσιάζει διάφορες γεωμετρικές προσεγγίσεις σε αλγεβρικά θέματα, αρκεί η προσέγγιση να έχει πρακτικό και ουσιαστικό αποτέλεσμα.
Με το δικαίωμα στο λάθος
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης

Έχεις δίκιο Θωμά. Είναι πιο σωστή η άποψή σου . Βιάστηκα να απαντήσω για να κάνω πράξη την συμμετοχή στην οποία αναφέρθηκε ο Χρήστος και που φυσικά έχει δίκιο για όλους μας...

[chris_gatos]

Kώστα νομίζω πως ο λόγος υπαρξής μας εδώ μέσα είναι η αγάπη για τα Μαθηματικά.Στη συζήτηση πρέπει να συμμετέχουν όλοι και κύρια οι νέοι συνάδελφοι.Μεσα απο τον ειλικρινή διάλογο προκύπτει πάντα η επιλογή του καλύτερου.(Ξανά)καλώ τους συναδέλφους σε (πιο) ενεργό συμμετοχή και ανταλλαγή απόψεων...
Εγώ το βλέπω σαν μια πολύ καλή ευκαιρία μάθησης εξ'αποστάσεως και φυσικά οχι σαν ευκαιρία επίδειξης γνώσεων,όπως μερικοί(ατυχώς) το φαντάζονται.ΟΛΟΙ μαθαίνουν απο ΟΛΟΥΣ!

[antonis_math]

Εγώ νομίζω πως το οτι δεν είναι πάντα εφικτή η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη των ευθυγράμμων τμημάτων, δεν ενοχλεί σε τίποτα τα επιχειρήματά του. Οπότε το μόνο του λάθος είναι πως δεν ξέρει οτι δεν μπορούν να κατασκευαστούν όλοι οι αριθμοί με κανόνα και διαβήτη. Αλλα όταν χρησιμοποιεί την λέξη κατασκευάζουμε, αμφιβάλλω αν εννοεί τέτοια κατασκευή, ίσως να ήταν καλύτερο να πει θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο. Αν του κόψει βαθμούς ο καθηγητής, τότε καταλαβαίνω γιατί αγαπάει πιο πολύ την γεωμετρία παρά την άλγεβρα.

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

Κακώς ο καθηγητής της τάξης δεν θεώρησε την απάντηση του μαθητή σωστή επειδή χρησιμοποίησε γνώσεις από την γεωμετρία. Η εκτίμηση αυτή εκτός από προσωπική θέση και άποψη είναι θέση και του παιδαγωγικού ινστιτούτου, όπου στις οδηγίες για την διδακτέα ύλη που εκδίδει κάθε χρόνο και μοιράζει τα αντίστοιχα βιβλιαράκια στα σχολεία είναι φανερή η θέση αυτή. Για παράδειγμα στην ίδια τάξη και στην θεωρία της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού οι οδηγίες ζητούν από τους καθηγητές της τάξης να λύσουν εξισώσεις με απόλυτα και με γεωμετρική προσέγγιση. Τέτοια παραδείγματα υπάρχουν πολλά που δείχνουν τον πλουραλισμό και την διδακτική αξία των μαθηματικών.
Άλλωστε βλέπουμε και το αντίστροφο, γεωμετρικά θέματα να λύνονται με χρήση τριγωνομετρίας και άλγεβρας γιατί λοιπόν η γεωμετρική λύση του μαθητή να μην θεωρηθεί σωστή;
Αν το περιστατικό αυτό συνέβαινε στην τάξη μου θα επαινούσα τον μαθητή για την ιδέα της χρησιμοποίησης της γεωμετρίας, προσωπικά εντυπωσιάστηκα από αυτή την λύση, τώρα αν είναι εφικτή πάντα η κατασκευή αυτών των ευθυγράμμων τμημάτων και η διερεύνηση αυτής της παραμέτρου, για ένα μαθητή της Α λυκείου ούτε πταίσμα δεν είναι.

[mathxl]

Kαλημέρα
Κακώς ο καθηγητής έκοψε μόρια, με αυτόν τον τρόπο είναι σαν να μην επαινεί την συνθετική και συνδυαστική σκέψη του συγκεκριμένου καθηγητή. ατά την γνώμη μου, αμέσως μετά την λύση της άσκησης (η οποία θα γίνονταν στον μισό πίνακα), θα έπρεπε να βάλει ως άσκηση στον άλλο μισό πίνακα την ίδια άσκηση αλλά νεα λέει, να δείξετε ότι υπάρχουν κατάλληλοι θετικοί αριθμοί α,β ώστε το άθροισμα των ρίζων τους να είναι μικρότερο της ρίζας του αθροίσματος τους(να απέκλειε όμως αριθμητικά παραδείγματα).Έπειτα ασ ακολουθούσε συζήτηση ως προς την διαφορά των εκφωνήσεων (τουλάχιστον με αυτόν τον τρόπο θα ενεργοποιούσε την τάξη πάνω στο θέμα και δεν θα ήταν απλά θέμα ενός μαθητή εάν το έκανε σωστά ή λάθος, ο οποίος μοιάζει να αντιμετωπίζει με μεράκι τα μαθηματικά. Πιθανόν να ήταν και ο πρώτος που θα έβρισκε το λάθος). Σε κάθε περίπτωση θα έπρεπε να συζητηθεί η διαφορά των ασκήσεων

[GiannisL]

Πολύ θα ήθελα να έχω στην τάξη μου μια δεκάδα τέτοιων μαθητών.
Άλλωστε η αίθουσα διδασκαλίας είναι το μέρος που πρέπει να γίνονται τέτοιου τύπου "λάθη" και παραληψεις απο τους μάθητές, ετσι ώστε να μπορεί ο καθηγητής να πάει τα μαθηματικά που διδάσκει ένα βήμα παραπέρα απο τετριμένες μεθοδολογίες και τυφλοσούρτες