Ο νότιος πόλος στο Βορρά ( Χανιά - Καρδίτσα )

KARKAR · #1

: Ο νότιος πόλος στο βαρρά.png (10.77 KiB) Προβλήθηκε 1778 φορές

Μια άσκηση αφιερωμένη στους - σίγουρα - ταλαιπωρημένους συνέδρους των Χανίων :

Διπλώνουμε ένα κύκλο με τσάκιση χορδή

, η οποία έχει τη διεύθυνση ανατολής - δύσης

κι έτσι ο νότιος πόλος

, μετακομίζει στη θέση

. Η εφαπτομένη του "διπλωμένου" τόξου

στο

, τέμνει τον κύκλο στο

. Πως θα επιλέξουμε τη χορδή

, ώστε : $S'T \parallel AB$ ;

Σημαντική βοήθεια : Θεωρήστε ότι ο κύκλος έχει ακτίνα R=3

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Όταν ξεκίνησα να το κοιτώ, δεν είχε δοθεί η "βοήθεια", οπότε και την παραβλέπω.

Αν και ΚΑΘΟΛΟΥ ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΤΙΚΗ

η προσέγγισή μου, δίνω το αποτέλσμα που βρήκα, αισιοδοξώντας για κομψότερη αντιμετώπιση.

: 05-11-2016 Γεωμετρία.jpg (16.76 KiB) Προβλήθηκε 1731 φορές

Έστω μοναδιαίος κύκλος με κέντρο O(0,0)

και χορδή του AB: y = d, -1<d<0

.

Διπλώνοντάς τον, κατά τις οδηγίες του (KAR)^2

το

μετακομίζει στο S'(0, 1+2d)

. Συμμετρικό του

ως προς την

είναι το

.

Έστω

.
Είναι $\displaystyle \left( {OB} \right) = 1 \Leftrightarrow {b^2} + {d^2} = 1$ (1)

Έστω T(a, 1+2d), 0<a<1

, σημείο του κύκλου, ώστε TS' // AB

.
Είναι $\displaystyle \left( {OT} \right) = 1 \Leftrightarrow {a^2} + 4{d^2} + 4d = 0$ (2)

Είναι $\displaystyle O'B \bot TB$ οπότε $\displaystyle \mathop {O'B}\limits^ \to \cdot \mathop {TB}\limits^ \to = 0 \Leftrightarrow \left( {b, - d} \right)\left( {b - a, - 1 - d} \right) = 0 \Leftrightarrow {b^2} - ab + d + {d^2} = 0$ , οπότε, λόγω της (1), είναι $\displaystyle d = ab - 1$ .

Στη ίδια σχέση θα καταλήγαμε, αν χρησιμοποιούσαμε την ισότητα S'T=BT

, (ως εφαπτόμενες από το ίδιο σημείο).

Λύνοντας το σύστημα, υπολογίζω ότι είναι $\displaystyle d = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2}$ , οπότε έχει επιλεγεί η κατάλληλη χορδή.

KARKAR · #3

: κέντρο και επαφές.png (19.13 KiB) Προβλήθηκε 1698 φορές

Γιώργο καλησπέρα , καθόλου άσχημα ! Η δική μου λύση ίσως φανεί ασχημότερη . Λοιπόν :

Από τις σχέσεις που φαίνονται στο σχήμα , προκύπτει ότι $\theta=3\phi$ . Αλλά $sin\theta=\dfrac{3-2d}{3}$ και

$sin\phi=\dfrac{d}{3}$ . Αξιοποιώντας τον τύπο : $sin3\phi=3sin\phi-4sin^3\phi$ προκύπτει τελικά η εξίσωση :

4d^3-45d+27=0

, η οποία γράφεται (d-3)( 4d^2+12d-9)=0

και δίνει δεκτή ρίζα την $\dfrac{3(\sqrt{2}-1)}{2}$ .

Ο νότιος πόλος στο Βορρά ( Χανιά - Καρδίτσα )

Ο νότιος πόλος στο Βορρά ( Χανιά - Καρδίτσα )

Re: Ο νότιος πόλος στο Βορρά ( Χανιά - Καρδίτσα )

Re: Ο νότιος πόλος στο Βορρά ( Χανιά - Καρδίτσα )

Μέλη σε σύνδεση