Σ.Μ.Α. 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Ιστοσελίδα · #1

ΖΗΤΗΜΑ 1ο. Εάν $\nu$ φυσικός μεγαλύτερος της μονάδος να δειχθεί η ανισότης:
$\left(1+\dfrac{1}{\nu-1}\right)^{\nu}>\left(1+\dfrac{1}{\nu}\right)^{\nu+1}$

ΖΗΤΗΜΑ 2ο. Να δειχθεί ότι η παράστασις $A\equiv (x+y+z)^{2\nu+1}-x^{2\nu+1}-y^{2\nu+1}-z^{2\nu+1}$
είναι διαιρετή δια της παραστάσεως $B\equiv (x+y+z)^{3}-x^{3}-y^{3}-z^{3} .$

ΖΗΤΗΜΑ 3ο. Να ευρεθεί δια $\nu\to \infty$ το $\lim \sqrt[\nu]{\nu^2+\nu} .$

ΖΗΤΗΜΑ 4ο. Να δειχθεί ότι η παράστασις $A\equiv (x+y)^{\nu}-x^{\nu}-y^{\nu}$
είναι διαιρετή δια της παραστάσεως $B\equiv x^{2}+xy+y^{2} ,$ όταν $\nu=6\mu+5$ και $\mu\in\mathbb{N} .$

ΖΗΤΗΜΑ 5ο. Εάν $\mu,\nu\in\mathbb{N}$ και είναι $\mu\leq\nu ,$ να δειχθεί η ισότης:

$\displaystyle \binom{\mu+\nu}{\mu}=1+\binom{\nu}{1}\binom{\mu}{1}+\binom{\nu}{2}\binom{\mu}{2}+\binom{\nu}{3}\binom{\mu}{3}+\ldots +\binom{\nu}{\mu}\binom{\mu}{\mu}$

Antonis_Z · #2

ΖΗΤΗΜΑ 5ο. Εάν $\mu,\nu\in\mathbb{N}$ και είναι $\mu\leq\nu ,$ να δειχθεί η ισότης:

$\displaystyle \binom{\mu+\nu}{\mu}=1+\binom{\nu}{1}\binom{\mu}{1}+\binom{\nu}{2}\binom{\mu}{2}+\binom{\nu}{3}\binom{\mu}{3}+\ldots +\binom{\nu}{\mu}\binom{\mu}{\mu}$

Από την ταυτότητα $\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}$ η ισότητα είναι ισοδύναμη με την:
$\displaystyle \binom{\mu+\nu}{\mu}=1+\binom{\nu}{1}\binom{\mu}{\mu-1}+\binom{\nu}{2}\binom{\mu}{\mu-2}+\binom{\nu}{3}\binom{\mu}{\mu-3}+\ldots +\binom{\nu}{\mu}\binom{\mu}{0}$ ,οπότε αρκεί να αποδείξουμε αυτό.

Το αριστερό μέλος μας μετράει τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να επιλέξουμε από $\nu+\mu$ άτομα τα $\mu$ .
Θα δείξουμε ότι και το δεύτερο μετράει το ίδιο πράγμα.
Κάθε όρος της μορφής $\binom{\nu}{k}\binom{\mu}{\mu-k}$ μετράει με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε $\mu$ άτομα από $\nu$ αγόρια και $\mu$ κορίτσια ώστε τα

να είναι αγόρια και τα $\mu-k$ να είναι κορίτσια.Στο δεξί μέλος έχουμε όλα τα

από $0-\mu$ ...Αμφότερα τα μέλη μετράνε το ίδιο πράγμα.

Από την αρχή της διπλής μέτρησης το ζητούμενο αποδείχθηκε.

ArgirisM · #3

stranton έγραψε: ΖΗΤΗΜΑ 3ο. Να ευρεθεί δια $\nu\to \infty$ το $\lim \sqrt[\nu]{\nu^2+\nu} .$

Η παράσταση γράφεται ισοδύναμα στη μορφή $\sqrt[\nu]{\nu} \sqrt[\nu]{\nu + 1}$ . Αμφότερες οι ακολουθίες έχουν όριο τη μονάδα. Παραθέτω τυπικά την απόδειξη για την δεύτερη περίπτωση μιας και η πρώτη υπάρχει, ως λυμένο παράδειγμα, στο βιβλίο του Ντζιώρα. Οι δύο αποδείξεις είναι παρεμεφερείς έτσι κι αλλιώς. Έχουμε $\nu \geq 1 \Longleftrightarrow \nu + 1 \geq 2 > 1 \Longrightarrow \sqrt[2 \nu]{\nu + 1} > 1$ . Θέτουμε $\delta_{\nu} = \sqrt[2 \nu]{\nu + 1} - 1 > 0 \Longleftrightarrow \sqrt{\nu + 1} = (1 + \delta_{\nu})^{\nu} \geq 1 + \nu \delta_{\nu} \Longleftrightarrow \frac{\sqrt{n + 1} - 1}{\nu} \geq \delta_{\nu} \Longleftrightarrow \frac{1}{\sqrt{\nu + 1} + 1} \geq \delta_{\nu} \Longrightarrow \delta_{\nu} \le \frac{1}{\sqrt{\nu}}$ .
Έυκολα αντιλαμβανόμαστε ότι $lim \delta_{\nu} = 0$ . Άρα $lim \sqrt[2 \nu]{\nu + 1} = 1 \Longleftrightarrow lim \sqrt[\nu]{\nu + 1} = 1$ . Οπότε το όριο είναι $lim \sqrt[\nu]{\nu ^2 + \nu} = 1$ .

gavrilos · #4

Είχα λάθος και αποσύρω τη λύση μου.

kostas_zervos · #5

gavrilos έγραψε: Η σχέση γίνεται $\color{red}\displaystyle{\frac{n^{n}}{(n-1)^{n}}>\frac{(n+1)^{n}}{n^{n}}$ .

Πρόσεξε...
Είναι $\displaystyle{\frac{n^{n}}{(n-1)^{n}}>\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+1}}$ .

bboybast · #6

Για το πρώτο θέμα.Θεωρούμε την συνάρτηση $f(x)=xln\frac{x}{x-1}, x>1$ με $f'(x)=ln\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}\leq 0$ αφού $ln\frac{x}{x-1}<\frac{x}{x-1}+1=\frac{1}{x-1}$ άρα η

γνησίως φθίνουσα.Έτσι έχουμε $,v<v+1\Rightarrow f(v)>f(v+1)\Rightarrow ...$

#7

stranton έγραψε: ΖΗΤΗΜΑ 3ο. Να ευρεθεί δια $\nu\to \infty$ το $\lim \sqrt[\nu]{\nu^2+\nu} .$

Αλλιώς:
Με χρήση των γνωστών $\lim \sqrt[\nu]{c}=\lim \sqrt[\nu]{\nu} =1 , \, (c>0)$ (εντός ύλης τότε) έχουμε

$\sqrt[\nu]{\\nu}\le \sqrt[\nu]{\nu^2+\nu}\le \sqrt[\nu]{2\nu^2}=\sqrt[\nu]{2} \sqrt[\nu]{\nu} \sqrt[\nu]{\nu}$ .

Τα δύο άκρα τείνουν στο

και το ζητούμενο έπεται από ισοσυγκλίνουσες.

stranton έγραψε:
ΖΗΤΗΜΑ 5ο. Εάν $\mu,\nu\in\mathbb{N}$ και είναι $\mu\leq\nu ,$ να δειχθεί η ισότης:

$\displaystyle \binom{\mu+\nu}{\mu}=1+\binom{\nu}{1}\binom{\mu}{1}+\binom{\nu}{2}\binom{\mu}{2}+\binom{\nu}{3}\binom{\mu}{3}+\ldots +\binom{\nu}{\mu}\binom{\mu}{\mu}$

Αλλιώς: Εξετάζουμε τον συντελεστή του $x^{\mu}$ στην προφανή ταυτότητα $(1+x)^{\mu+ \nu}= (1+x)^{\mu}(1+x)^{ \nu}$ αφού τα αναπτύξουμε σύμφωνα με το διώνυμο. Στο μεν αριστερό μέλος είναι $\binom{\mu+\nu}{\mu}$ και στο δεξί είναι (άμεσο με πολλαπλασιασμό)

$\displaystyle \binom{\nu}{0}\binom{\mu}{\mu}+\binom{\nu}{1}\binom{\mu}{\mu -1}+\binom{\nu}{2}\binom{\mu}{\mu -2}+\ldots +\binom{\nu}{\mu}\binom{\mu}{0}$

Αλλά αυτό ισούται με το δοθέν από την $\binom{\mu}{\mu -k}=\binom{\mu}{k}$ .

stranton έγραψε: ΖΗΤΗΜΑ 2ο. Να δειχθεί ότι η παράστασις $A\equiv (x+y+z)^{2\nu+1}-x^{2\nu+1}-y^{2\nu+1}-z^{2\nu+1}$
είναι διαιρετή δια της παραστάσεως $B\equiv (x+y+z)^{3}-x^{3}-y^{3}-z^{3} .$

Είναι $(x+y+z)^{3}-x^{3}-y^{3}-z^{3} =3(x+y)(y+z)(z+x)$ .

Eίναι άμεσο ότι η δοθείσα

μηδενίζεται αν $x=-y, \, y=-z, \, z=-x$ . Δηλαδή τα $x+y, \, y+z, \, z+x$ είναι παράγοντές του. Άρα και το

είναι παράγοντας του

.

stranton έγραψε: ΖΗΤΗΜΑ 4ο. Να δειχθεί ότι η παράστασις $A\equiv (x+y)^{\nu}-x^{\nu}-y^{\nu}$
είναι διαιρετή δια της παραστάσεως $B\equiv x^{2}+xy+y^{2} ,$ όταν $\nu=6\mu+5$ και $\mu\in\mathbb{N} .$

Λύνεται όπως η προηγούμενη με χρήση της $x^{2}+xy+y^{2}= (x-\omega y)(x-\omega ^2y)$ , όπου $\omega$ κυβική ρίζα της μονάδας, οπότε και $1+\omega + \omega ^ 2=0$ . Άμεσα βλέπουμε ότι η παράσταση

μηδενίζεται αν $x=\omega y, \, x=\omega ^2y$ στην περίπτωση που $\nu=6\mu+5$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Ιστοσελίδα · #8

ΖΗΤΗΜΑ 3ο. $\lim \sqrt[\nu]{\nu^2+\nu}=\lim \left(\sqrt[\nu]{\nu}\right)^{2} \sqrt[\nu]{1+\dfrac{1}{\nu}}=1^2\cdot 1=1 .$

Αν $a_{\nu}=1+\dfrac{1}{\nu}$ τότε $\lim a_{\nu}=1 ,$ οπότε υπάρχει $\nu_{0}\in\mathbb{N}$ ώστε:

για κάθε $\nu\geq \nu_{0}$ είναι $|a_{\nu}-1|<\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}<a_{\nu}<\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \sqrt[\nu]{\dfrac{1}{2}}<\sqrt[\nu]{a_{\nu}}<\sqrt[\nu]{\dfrac{3}{2}} .$

Όμως $\lim \sqrt[\nu]{\dfrac{1}{2}}=\lim \sqrt[\nu]{\dfrac{3}{2}}=1$ άρα και $\lim \sqrt[\nu]{a_{\nu}}=1 .$

kostas_zervos · #9

stranton έγραψε:ΖΗΤΗΜΑ 1ο. Εάν $\nu$ φυσικός μεγαλύτερος της μονάδος να δειχθεί η ανισότης:
$\left(1+\dfrac{1}{\nu-1}\right)^{\nu}>\left(1+\dfrac{1}{\nu}\right)^{\nu+1}$

Είναι $\left(1+\dfrac{1}{\nu-1}\right)^{\nu}>\left(1+\dfrac{1}{\nu}\right)^{\nu+1}\iff \displaystyle{\frac{\nu^{\nu}}{(\nu-1)^{\nu}}>\frac{(\nu+1)^{\nu}}{\nu^{\nu}}\dfrac{\nu+1}{\nu}\iff$

$\iff\dfrac{\left(\nu^2\right)^{\nu}}{\left(\nu^2-1\right)^{\nu}}>\dfrac{\nu+1}{\nu} \iff \left(\dfrac{\nu^2-1+1}{\nu^2-1}\right)^{\nu}>\dfrac{\nu+1}{\nu} \iff$

$\iff\left(1+\dfrac{1}{\nu^2-1}\right)^{\nu}>1+\dfrac{1}{\nu}$ .

Από την ανισότητα Bernoulli έχουμε $\left(1+\dfrac{1}{\nu^2-1}\right)^{\nu}\geq 1+\dfrac{\nu}{\nu^2-1}$ , άρα αρκεί:

$\dfrac{\nu}{\nu^2-1}>\dfrac{1}{\nu} \overset{\nu>1}{\iff} \nu^2>\nu^2-1$ που ισχύει για κάθε $\nu>1$ .

Σ.Μ.Α. 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Σ.Μ.Α. 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση