ΟΜΑΔΑ 2 1967 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛΥΤ.-ΦΥΣΙΚ.-ΓΕΩΠ.)

parmenides51 · #1

Η ομάδα 2 περιείχε σχολές που άνηκαν μετά στον Πολυτεχνικό, Φυσικομαθηματικό και Γεωπονοδασολογικό Κύκλο .

1. Να υπολογισθεί η πλευρά κανονικού δεκαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας $\displaystyle{R}$ συναρτήσει του $\displaystyle{R}$ .

2. Δίνονται δυο άνισες σφαίρες $\displaystyle{K_1 ,K_2}$ ακτίνων $\displaystyle{R_1,R_2}$ αντίστοιχα εξωτερικά εφαπτόμενες.
Να υπολογισθεί ο όγκος του ορθού κώνου στον οποίο η μια σφαίρα είναι εγγεγραμμένη
και οι γενέτειρες του κώνου εφάπτονται στην άλλη σφαίρα, συναρτήσει των ακτινών $\displaystyle{R_1,R_2 }$ .

3. Να κατασκευασθεί τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ γνωρίζοντας την διχοτόμο $\displaystyle{A\Delta=\delta_{\alpha}}$ , την διαφορά $\displaystyle{\widehat{B}-\widehat{\Gamma}=\omega}$
και την σχέση $\displaystyle{\beta^2\gamma^2=\delta^4+\kappa^4}$ όπου $\displaystyle{\beta,\gamma}$ οι πλευρές $\displaystyle{A\Gamma, AB}$ αντίστοιχα και $\displaystyle{\delta,\kappa}$ δοθέντα ευθύγραμμα τμήματα.

orestisgotsis · #2

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε:Η ομάδα 2 περιείχε σχολές που άνηκαν μετά στον Πολυτεχνικό, Φυσικομαθηματικό και Γεωπονοδασολογικό Κύκλο .
1. Να υπολογισθεί η πλευρά κανονικού δεκαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας $\displaystyle{R}$ συναρτήσει του $\displaystyle{R}$ .

Το θέμα αυτό ένας υποψήφιος το αντιμετώπιζε ως θεωρία , όχι ως άσκηση....
Yπήρχε τυπωμένο στα διδακτικά βιβλία και σε όλα τα αντίστοιχα φροντιστηριακά. Ας υπάρχει και στο mathematica....
Σήμερα είναι εφαρμογή στο σχολικό βιβλίο , πόσοι άραγε ενδιαφέρονται να τη μελετήσουν....

Έστω λοιπόν

πλευρά κανονικού δεκαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο $\left(O,R \right)$ .
Το τρίγωνο OAB

είναι φυσικά ισοσκελές στο οποίο ισχύει $O\hat{A}B=O\hat{B}A=\frac{100^{\circ}-36^{\circ} }{2}=72^{\circ}$ , μια και η κεντρική γωνία του κανονικού δεκαγώνου είναι ίση με $A\hat{O}B=\frac{360^{\circ} }{10}=36^{\circ}$ .
Αν σχεδιαστεί η διχοτόμος $A\Gamma$ της γωνίας $O\hat{A}B$ , τότε το τρίγωνο $\Gamma OA$
είναι ισοσκελές με $\Gamma O=\Gamma A$ , αφού $\Gamma \hat{A} O=A \hat{O} \Gamma =36^{\circ}$ .

Όμως και το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ισοσκελές με $A\Gamma =AB$ , μια και $A\hat{\Gamma }B=36^{\circ} +36^{\circ}=72^{\circ}= O\hat{B }A$

Αν εφαρμοστεί το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο OAB

προκύπτει ότι

$\frac{AB}{AO}=\frac{\Gamma B}{\Gamma O}\Rightarrow$

$\frac{\lambda _{10}}{R}=\frac{R-\lambda _{10}}{\lambda _{10}}\Rightarrow$

$\lambda^{2} _{10}=R\left(R-\lambda _{10} \right)$

Η μόνη θετική λύση της παραπάνω εξίσωσης είναι και η απάντηση στο θέμα

$\lambda _{10}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}R$

Αυτό που αξίζει να τονιστεί είναι ότι η $\lambda _{10}$ είναι ίση με το ένα από τα δύο τμήματα που διαιρούν την σε μέσο και άκρο λόγο.Μάλιστα είναι το μεγαλύτερο από τα δύο αυτά τμήματα.

ΟΜΑΔΑ 2 1967 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛΥΤ.-ΦΥΣΙΚ.-ΓΕΩΠ.)

ΟΜΑΔΑ 2 1967 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛΥΤ.-ΦΥΣΙΚ.-ΓΕΩΠ.)

Re: ΟΜΑΔΑ 2 1967 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛΥΤ.-ΦΥΣΙΚ.-ΓΕΩΠ.)

Re: ΟΜΑΔΑ 2 1967 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛΥΤ.-ΦΥΣΙΚ.-ΓΕΩΠ.)

Μέλη σε σύνδεση