ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Παναγιωτουνάκος

1. Εαν το τριώνυμο $\displaystyle{ Ax^2+Bx+\Gamma}$ με πραγματικούς συντελεστές έχει ρίζες φανταστικές,
να δειχθεί η ανισότητα $\displaystyle{(Ax_1^2+Bx_1+\Gamma_1)(Ax_2^2+Bx_2+\Gamma_2)>0}$ όπου $\displaystyle{ x_1,x_2 }$
α) τυχαίοι πραγματικοί
β) τυχαίοι μιγαδικοί αριθμοί, συζυγείς διάφοροι των φανταστικών ριζών του τριωνύμου

2. α) Να δειχθεί οτι εαν μια αλγεβρική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές έχει την μιγαδική ρίζα
$\displaystyle{\alpha+\beta i}$ ( $\displaystyle{\beta\ne 0}$ ) τότε θα έχει και την συζυγή της.
β) Για ποιες πραγματικές τιμές του $\displaystyle{\lambda}$ οι δυο ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{x^3+(3\lambda+1)x-\lambda^2=0}$
είναι συζυγείς μιγαδικοί και η τρίτη ισούται με το γινόμενο τους;
Επίσης να βρεθούν οι ρίζες αυτές στην εν λόγω περίπτωση .

3. α) Να βρεθούν οι λύσεις στους ακεραίους της εξίσωσης $\displaystyle{14x+3y-4|y|=29}$ .
β) Να βρεθεί το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma}$ των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων της ακολουθίας των γινομένων
$\displaystyle{x_1 y_1,(x_1+1)(y_1+1),(x_1+2)(y_1+2),...,(x_1+\nu-1)(y_1+\nu-1),...}$
όπου $\displaystyle{x_1,y_1}$ είναι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης με τους μικρότερους θετικούς ακεραίους.

#2

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Παναγιωτουνάκος

1. Εαν το τριώνυμο $\displaystyle{ Ax^2+Bx+\Gamma}$ με πραγματικούς συντελεστές έχει ρίζες φανταστικές,
να δειχθεί η ανισότητα $\displaystyle{(Ax_1^2+Bx_1+\Gamma_1)(Ax_2^2+Bx_2+\Gamma_2)>0}$ όπου $\displaystyle{ x_1,x_2 }$
α) τυχαίοι πραγματικοί
β) τυχαίοι μιγαδικοί αριθμοί, συζυγείς διάφοροι των φανταστικών ριζών του τριωνύμου

Αφού οι ρίζες είναι φανταστικές θα είναι και συζυγείς, οπότε θα έχουν άθροισμα μηδέν και γινόμενο θετικό. Άρα, $\displaystyle{B = 0,A\Gamma > 0}$ .

α) Έστω $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in R}$
$\displaystyle{\left( {A{x_1}^2 + B{x_1} + \Gamma } \right)\left( {A{x_2}^2 + B{x_2} + \Gamma } \right) = \left( {A{x_1}^2 + \Gamma } \right)\left( {A{x_2}^2 + \Gamma } \right) > 0}$ , αφού $\displaystyle{A\Gamma > 0}$ .

β) Έστω $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in C}$ , με $\displaystyle{{x_1} = a + bi,{x_2} = a - bi}$ , $\displaystyle{a,b \in R,b \ne 0}$ .
$\displaystyle{\left( {A{x_1}^2 + B{x_1} + \Gamma } \right)\left( {A{x_2}^2 + B{x_2} + \Gamma } \right) = \left( {A{{(a + bi)}^2} + \Gamma } \right)\left( {A{{(a - bi)}^2} + \Gamma } \right)}$

$\displaystyle{ = \left( {A({a^2} - {b^2}) + \Gamma + 2abi} \right)\left( {A({a^2} - {b^2}) + \Gamma - 2abi} \right)}$

Έστω $\displaystyle{A({a^2} - {b^2}) + \Gamma + 2abi = z}$ , Τότε:

$\displaystyle{\left( {A{x_1}^2 + B{x_1} + \Gamma } \right)\left( {A{x_2}^2 + B{x_2} + \Gamma } \right) = z \cdot \overline z = {\left| z \right|^2} > 0}$

apotin · #3

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Παναγιωτουνάκος

2. α) Να δειχθεί οτι εαν μια αλγεβρική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές έχει την μιγαδική ρίζα
$\displaystyle{\alpha+\beta i}$ ( $\displaystyle{\beta\ne 0}$ ) τότε θα έχει και την συζυγή της.
β) Για ποιες πραγματικές τιμές του $\displaystyle{\lambda}$ οι δυο ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{x^3+(3\lambda+1)x-\lambda^2=0}$
είναι συζυγείς μιγαδικοί και η τρίτη ισούται με το γινόμενο τους;
Επίσης να βρεθούν οι ρίζες αυτές στην εν λόγω περίπτωση.

α) γνωστή θεωρία

β) Έστω $\displaystyle{\;\;\;\;{x_1} = a + bi,\;\;{x_2} = a - bi,\;\;{x_3} = {x_1}{x_2} = {a^2} + {b^2}\;\;\;\;}$ οι ρίζες της εξίσωσης

Τότε έχουμε:

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + {x_3} = 0\\ {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = 3\lambda + 1\\ {x_1}{x_2}{x_3} = {\lambda ^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a + {a^2} + {b^2} = 0\\ \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {2a + 1} \right) = 3\lambda + 1\\ {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} = {\lambda ^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a = {a^2} + {b^2}\\ - 2a\left( {2a + 1} \right) = 3\lambda + 1\\ 4{a^2} = {\lambda ^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a = {a^2} + {b^2} \ge 0\\ 3\lambda = - 4{a^2} - 2a - 1 < 0\\ \left| {2a} \right| = \left| \lambda \right| \end{array} \right. \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} - 2a = {a^2} + {b^2}\\ {\lambda ^2} + 4\lambda + 1 = 0\\ 2a = \lambda \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {b^2} = - 2a - {a^2}\\ \lambda = - 2 \pm \sqrt 3 \\ a = \frac{{ - 2 \pm \sqrt 3 }}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {b^2} = - 2a - {a^2}\\ \lambda = - 2 \pm \sqrt 3 \\ a = \frac{{ - 2 \pm \sqrt 3 }}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 5 \mp 3\sqrt 3 \\ \lambda = - 2 \pm \sqrt 3 \\ a = \frac{{ - 2 \pm \sqrt 3 }}{2} \end{array} \right.}$

apotin · #4

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Παναγιωτουνάκος
3. α) Να βρεθούν οι λύσεις στους ακεραίους της εξίσωσης $\displaystyle{14x+3y-4|y|=29}$ .
β) Να βρεθεί το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma}$ των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων της ακολουθίας των γινομένων
$\displaystyle{x_1 y_1,(x_1+1)(y_1+1),(x_1+2)(y_1+2),...,(x_1+\nu-1)(y_1+\nu-1),...}$
όπου $\displaystyle{x_1,y_1}$ είναι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης με τους μικρότερους θετικούς ακεραίους.

α) Για $\displaystyle{y<0}$ η εξίσωση γίνεται $\displaystyle{14x + 7y = 29 \Leftrightarrow 2x + y = \frac{{29}}{7}}$ και είναι αδύνατη στους ακεραίους.

Για $\displaystyle{y \ge 0}$ η εξίσωση γίνεται $\displaystyle{14x - y = 29}$ , που είναι διοφαντική με προφανή λύση $\displaystyle{\left( {x,\;y} \right) = \left( {3,\;13} \right)}$

Επειδή για τους συντελεστές των $\displaystyle{x, y}$ ισχύει $\displaystyle{\left( {14,\; - 1} \right) = 1}$ η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις της μορφής $\displaystyle{\left( {x,\;y} \right) = \left( {3 - t,\;13 - 14t} \right),\;\;t \in \mathbb{Z}}$ .

Αλλά $\displaystyle{y \ge 0 \Leftrightarrow 15 - 14t \ge 0 \Leftrightarrow t \le \frac{{13}}{{14}}}$

οπότε η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις της μορφής $\displaystyle{\left( {x,\;y} \right) = \left( {3 - t,\;13 - 14t} \right),\;\;}$ $\displaystyle{t = 0,\; - 1,\; - 2,\; \ldots }$

β) Για $\displaystyle{t=0}$ έχουμε $\displaystyle{\left( {{x_1},\;{y_1}} \right) = \left( {3,\;13} \right)}$ , οπότε ζητάμε το άθροισμα

$\displaystyle{{S_\nu } = \sum\limits_{k = 1}^\nu {\left( {2 + k} \right)\left( {12 + k} \right)} = \sum\limits_{k = 1}^\nu {\left( {24 + 14k + {k^2}} \right) = } 24 + 14\sum\limits_{k = 1}^\nu k + \sum\limits_{k = 1}^\nu {{k^2} = 24\nu + 14\frac{{\nu \left( {\nu - 1} \right)}}{2} + \frac{{\nu \left( {\nu + 1} \right)\left( {2\nu + 1} \right)}}{6}} = \ldots }$

ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση