ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1970 - ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{4x^2-332x+165=0}$ και να δειχθεί οτι αυτές είναι πραγματικοί και ρητοί αριθμοί.
Εαν $\displaystyle{ p_1}$ και $\displaystyle{p_2}$ είναι οι δυο ρίζες με $\displaystyle{p_1>p_2}$ , να δείξετε τις ισότητες $\displaystyle{ p_1-p_2=82 \,\,,\,\,10p_1+14p_2=832}$ .

2. Να λυθεί η διτετράγωνη εξίσωση $\displaystyle{\alpha x^4+\beta x^2+\gamma=0}$ με πραγματικούς συντελεστές.
Τι γνωρίζετε για το είδος των ριζών αυτής, δηλαδή πότε έχει
α) και τις $\displaystyle{4}$ ρίζες πραγματικές
β) και τις $\displaystyle{4}$ ρίζες μη πραγματικές
γ) $\displaystyle{ 2}$ ρίζες πραγματικές και $\displaystyle{2}$ όχι ;

3. Να προσδιορίσετε τα $\displaystyle{\lambda,\mu,\nu,\kappa,p,\sigma}$ ώστε το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} (2\lambda+\mu-1)x+(\lambda -\mu+1)y=\lambda+\nu-1 \\ (\kappa+\nu-2)x+(p-\mu+1)y=\sigma+\mu+\nu \end{cases}}$

να είναι ταυτότητα ως προς $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ και να δείξετε οτι τότε θα είναι $\displaystyle{\mu+\nu+\kappa=3}$ και $\displaystyle{\mu+\nu+\sigma=0}$

4. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\sqrt{-8x-1}+\sqrt{-15x-1}=\sqrt{-48x-1}}$ .
Μετά την απαλοιφή των ριζών θα προκύψει δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς $\displaystyle{x}$ .
Να εξετάσετε ποιες από τις ρίζες αυτής, ικανοποιούν την δοθείσα.

Υ.Γ. Σχετικά με το 4ο θέμα, τις εξισώσεις τότε τις έλυναν στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$ και δεν υπήρχε κανένας περιορισμός για το υπόρριζο σε τετραγωνικές ρίζες.

#2

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{4x^2-332x+165=0}$ και να δειχθεί οτι αυτές είναι πραγματικοί και ρητοί αριθμοί.
Εαν $\displaystyle{ p_1}$ και $\displaystyle{p_2}$ είναι οι δυο ρίζες με $\displaystyle{p_1>p_2}$ , να δείξετε τις ισότητες $\displaystyle{ p_1-p_2=82 \,\,,\,\,10p_1+14p_2=832}$ .

$\displaystyle{4{x^2} - 332x + 165 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{332 \pm 328}}{8}}$

$\displaystyle{{p_1} = \frac{{165}}{2},{p_2} = \frac{1}{2}}$

$\displaystyle{{p_1} - {p_2} = \frac{{164}}{2} = 82}$

$\displaystyle{10{p_1} + 14{p_2} = \frac{{1650}}{2} + \frac{{14}}{2} = \frac{{1664}}{2} = 832}$

Ομολογώ ότι δεν μπόρεσα να καταλάβω το σκεπτικό αυτής της άσκησης.
Αφού ζητάει να βρεθούν οι ρίζες, τι νόημα έχει να αποδειχτεί ότι είναι ρητοί αριθμοί. Να αποδείξουμε τι δηλαδή; Ότι το $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ και το $\displaystyle{\frac{{165}}{2}}$ είναι ρητοί;

parmenides51 · #3

george visvikis έγραψε:
parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{4x^2-332x+165=0}$ και να δειχθεί οτι αυτές είναι πραγματικοί και ρητοί αριθμοί.
...

Ομολογώ ότι δεν μπόρεσα να καταλάβω το σκεπτικό αυτής της άσκησης.
Αφού ζητάει να βρεθούν οι ρίζες, τι νόημα έχει να αποδειχτεί ότι είναι ρητοί αριθμοί. Να αποδείξουμε τι δηλαδή; Ότι το $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ και το $\displaystyle{\frac{{165}}{2}}$ είναι ρητοί;

κι όμως τέτοια λύση έχει και στο Δελτίο του Πάλλα,
το μόνο που μπορώ να σκεφτώ είναι πως ενδεχομένως να έδιναν μονάδες σε όποιον αποδείκνυε πως η διακρινουσα είναι τέλειο (θετικό) τετράγωνο
όποτε και οι ρίζες τους τριωνύμου θα ήταν και πραγματικοί αλλά και ρητοί, χωρίς να βρει καν τις ρίζες αυτές.

#4

parmenides51 έγραψε: 2. Να λυθεί η διτετράγωνη εξίσωση $\displaystyle{\alpha x^4+\beta x^2+\gamma=0}$ με πραγματικούς συντελεστές.
Τι γνωρίζετε για το είδος των ριζών αυτής, δηλαδή πότε έχει
α) και τις $\displaystyle{4}$ ρίζες πραγματικές
β) και τις $\displaystyle{4}$ ρίζες μη πραγματικές
γ) $\displaystyle{ 2}$ ρίζες πραγματικές και $\displaystyle{2}$ όχι ;

1) Αν $\displaystyle{\alpha = 0 \Leftrightarrow \beta {x^2} + \gamma = 0}$
i) Αν $\displaystyle{\beta = \gamma = 0}$ , η εξίσωση είναι ταυτότητα.
ii) Αν $\displaystyle{\beta = 0,\gamma \ne 0}$ , η εξίσωση είναι αδύνατη.
iii) Αν $\displaystyle{\beta \gamma > 0}$ , η εξίσωση έχει δύο ρίζες φανταστικές συζυγείς.
iv) Αν $\displaystyle{\beta \gamma < 0}$ , η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες.

2) Αν $\displaystyle{\alpha \ne 0}$
Έστω $\displaystyle{{x^2} = \omega }$ , τότε: $\displaystyle{a{\omega ^2} + \beta \omega + \gamma = 0 \Leftrightarrow \omega = \frac{{ - \beta \pm \sqrt \Delta }}{{2\alpha }}}$
Η παραπάνω εξίσωση ονομάζεται επιλύουσα.
i) Αν $\displaystyle{\Delta < 0}$ , η επιλύουσα έχει δύο ρίζες μιγαδικές συζυγείς και η δοθείσα εξίσωση

μιγαδικές ρίζες.
ii) Αν $\displaystyle{\Delta = 0}$ , η επιλύουσα έχει μια διπλή πραγματική ρίζα. Αν αυτή είναι θετική, η δοθείσα εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, ενώ αν είναι αρνητική, η δοθείσα εξίσωση έχει δύο φανταστικές και συζυγείς ρίζες.
iii) Αν $\displaystyle{\Delta >0}$ , η επιλύουσα έχει δύο πραγματικές ρίζες.
α) Αν $\displaystyle{\alpha \gamma > 0}$ , οι ρίζες αυτέ είναι ομόσημες.
Αν είναι επιπλέον και $\displaystyle{\alpha \beta > 0}$ , τότε οι ρίζες είναι αρνητικές, οπότε η δοθείσα εξίσωση έχει

μιγαδικές ρίζες.
Αν όμως $\displaystyle{\alpha \beta < 0}$ , οι ρίζες της επιλύουσας είναι θετικές, οπότε η αρχική εξίσωση έχει

πραγματικές ρίζες.
β) Τέλος αν $\displaystyle{\alpha \gamma < 0}$ , οι ρίζες της επιλύουσας είναι ετερόσημες, οπότε η αρχική εξίσωση έχει 2 πραγματικές και

μιγαδικές ρίζες.

Ελπίζω να μην ξέχασα κάτι.

Έκανα πλήρη λύση, χωρίς να ακολουθήσω την αρίθμηση των ερωτημάτων. Οι απαντήσεις υπερκαλύπτουν τα ερωτήματα.

Γιώργος Απόκης · #5

parmenides51 έγραψε: 4. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\sqrt{-8x-1}+\sqrt{-15x-1}=\sqrt{-48x-1}}$ .
Μετά την απαλοιφή των ριζών θα προκύψει δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς $\displaystyle{x}$ .
Να εξετάσετε ποιες από τις ρίζες αυτής, ικανοποιούν την δοθείσα.

Υψώνουμε στο τετράγωνο και έχουμε

$\displaystyle{-8x-1-15x-1+2\sqrt{-8x-1}\sqrt{-15x-1}=-48x-1\Rightarrow 2\sqrt{-8x-1}\sqrt{-15x-1}=-25x+1\Rightarrow }$

$\displaystyle{4(-8x-1)(-15x-1)=(-25x+1)^2\Rightarrow 480x^2+92x+4=625x^2-50x+1\Rightarrow 145x^2-142-3=0\Rightarrow x=1~\acute{\eta}~x=-\frac{3}{145}}$

Από αυτές ικανοποιεί μόνο η $\displaystyle{x=1}$

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1970 - ΑΛΓΕΒΡΑ

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1970 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1970 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1970 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1970 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1970 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση