Ποικιλία λύσεων σε θέμα Πανελληνίων

#1

Έστω ότι η 2η παράγωγος μιας συνάρτησης

είναι συνεχής στο [a,d]

και ισχύει f(b)<f(a)<f(d)<f(c)

με

Να δείξετε ότι υπάρχει $x_0\in (a,d) : f^{\prime\prime}(x_0)=0$
Η άσκηση είναι θέμα πανελληνίων και σε μερικούς τρόπους λύσης δεν απαιτείται η συνέχεια της $f^{\prime\prime}(x)$
Την βάζω όμως εδώ επειδή έχει μεγάλη ποικιλία λύσεων πχ
1)Μόνο με Rolle+θεώρημα ενδιαμέσων τιμών
2)Μόνο με ΘΜΤ+Bolzano+Rolle
3)Μόνο με ΘΜΤ+Bolzano
4)Μόνο με Fermat+Rolle
5)Μόνο με ΘΜΤ+μονοτονία+Bolzano και την εις άτοπο απαγωγή
6)με κυρτότητα χρησιμοποιώντας το λήμμα ὀτι η κλίση των χορδών με ένα άκρο σταθερό είναι αύξουσα
7)με κυρτότητα χρησιμοποιώντας το λήμμα ὀτι δεν υπάρχουν τρια συνευθειακά σημεία στην C_f

Θα δώσω τις λύσεις σε συνημμένο αργότερα ΑΛΛΑ ΘΑ ΗΤΑΝ ΩΡΑΙΟ ΝΟΜΙΖΩ ΝΑ ΒΡΕΘΟΥΝ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
(δεν εννοώ βέβαια ότι είναι όλες χρήσιμες απαντήσεις στις εξετάσεις)

#2

Καλημέρα. Παραθέτω μια λύση...
Λόγω της δοθείσας η f αποκλείεται να είναι σταθερή στο [a,d]. Λόγω της συνέχειας της f στο [a,d]
προκύπτει πως αυτή παρουσιάζει μέγιστη κι ελάχιστη τιμή έστω στα $\displaystyle{\displaystyle x_m ,x_\varepsilon \in \left[ {a,d} \right] }$ . Δηλαδή $\displaystyle{\displaystyle f\left( {x_\varepsilon } \right) \leqslant f\left( x \right) \leqslant f\left( {x_m } \right),x \in \left[ {a,d} \right] }$ . Τα $\displaystyle{\displaystyle x_\varepsilon ,x_m }$ αποκλείεται να είναι τα άκρα του διαστήματος και αυτό εύκολα το συμπεραίνουμε απο τη δοθείσα. Αρα είναι εσωτερικά σημεία του διαστήματος [a,d]. Eπειδη η f είναι παραγωγίσιμη στο [a,d] ενεργοποιούμε το θεώρημα Fermat
το οποίο δίνει $\displaystyle{\displaystyle f^\prime(x_\varepsilon ) = 0,f^ \prime (x_m ) = 0 }$ . τώρα αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [a,d] εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την πρώτη παράγωγο στο $\displaystyle{\displaystyle \left[ {x_\varepsilon ,x_m } \right] \subseteq \left[ {a,d} \right] }$ απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο....
Όλα τα βασικά θεωρήματα της ανάλυσης σε μια άσκηση. Διδακτικότατη. Αλήθεια είχε πέσει θέμα πανελληνίων;;;; Που τέτοιες ασκήσεις τώρα!
Υ.Γ. Χωρις βλάβη της γενικότητας υπέθεσα $\displaystyle{\displaystyle x_\varepsilon < x_m }$

#3

chris_gatos έγραψε:Καλημέρα.Παραθέτω μια λύση...
Λόγω της δοθείσας η f αποκλείεται να είναι σταθερή στο [a,d].Λόγω της συνέχειας της f στο [a,d]
προκύπτει πως αυτή παρουσιάζει μέγιστη κι ελάχιστη τιμή έστω στα $\displaystyle{\displaystyle x_m ,x_\varepsilon \in \left[ {a,d} \right] }$ .Δηλαδή $\displaystyle{\displaystyle f\left( {x_\varepsilon } \right) \leqslant f\left( x \right) \leqslant f\left( {x_m } \right),x \in \left[ {a,d} \right] }$ ...Τα $\displaystyle{\displaystyle x_\varepsilon ,x_m }$ αποκλείεται να είναι τα άκρα του διαστήματος και αυτό εύκολα το συμπεραίνουμε απο τη δοθείσα...Αρα είναι εσωτερικά σημεία του διαστήματος [a,d].Eπειδη η f είναι παραγωγίσιμη στο [a,d] ενεργοποιούμε το θεώρημα fermat
το οποίο δίνει $\displaystyle{\displaystyle f'(x_\varepsilon ) = 0,f'(x_m ) = 0 }$ .τώρα αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [a,d] εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την πρώτη παράγωγο στο $\displaystyle{\displaystyle \left[ {x_\varepsilon ,x_m } \right] \subseteq \left[ {a,d} \right] }$ απ'όπου προκύπτει το ζητούμενο....
Όλα τα βασικά θεωρήματα της ανάλυσης σε μια άσκηση.Διδακτικότατη.Αλήθεια είχε πέσει θέμα πανελληνίων;;;;Που τέτοιες ασκήσεις τώρα!
Υ.Γ Μα καλά ποτέ δε θα πετύχω την παράγωγο;;;Χωρις βλάβη της γενικότητας υπέθεσα $\displaystyle{\displaystyle x_\varepsilon < x_m }$

Είναι ακριβώς η 4η)

#4

Δίνω τις 7 λύσεις σε συνημμένο

#5

εντάξει αλλά βάλτε και το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής μέσα γιατί την...κάνει τη δουλίτσα του.

#6

Δίνω και μια με άτοπο και f'' συνεχή.Έστω πως για κάθε χ στο (a,d) είναι f''(x) διαφορετικό του μηδενός.Αρα η
f'' θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (a,d),ως συνεχής σε αυτό.Χωρίς βλάβη υποθέτουμε f''(x)>0 για κάθε χ στο (a,d).
Αρα η f' γνησίως αύξουσα στο (a,d) (1).
Έφαρμόζοντας το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστής τιμής για την f,όπως και στην προηγούμενη απόδειξή μου και σκεπτόμενοι ομοίως εξασφαλίζουμε την ύπαρξη μεγίστου ελαχίστου σε εσωτερικά σημεία...Απο θ fermat
έχουμε f'(xε)=0=f'(xm).Άτοπο απο την (1).Όμοια αν f''(x)<0.
Aρα υπάρχει x0 στο (a,d) ώστε f''(x0)=0.

Ποικιλία λύσεων σε θέμα Πανελληνίων

Ποικιλία λύσεων σε θέμα Πανελληνίων

Re: Ποικιλία λύσεων σε θέμα Πανελληνίων

Re: Ποικιλία λύσεων σε θέμα Πανελληνίων

Re: Ποικιλία λύσεων σε θέμα Πανελληνίων

Re: Ποικιλία λύσεων σε θέμα Πανελληνίων

Re: Ποικιλία λύσεων σε θέμα Πανελληνίων

Μέλη σε σύνδεση