Κανονικό πολύγωνο

#1

Έστω

ένα κανονικό πολύγωνο, εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα

και

ένα τυχαίο σημείο του επιπέδου του πολυγώνου. Να αποδείξετε ότι

$nR \leq MA_1+MA_2+...+MA_n \leq n(R+OM)$

Dreamkiller · #2

Για το δεξί μέλος:
$\displaystyle {\sum_{j=1}^{n}|\overrightarrow{MA_j}| =\sum_{j=1}^{n}|\overrightarrow{MO} +\overrightarrow{OA_j}| \leq \sum_{j=1}^{n} |\overrightarrow{OM}| + |\overrightarrow{OA_j}|=n(R+OM)$
Για το αριστερό:
$\displaystyle {R\sum_{j=1}^{n}|\overrightarrow{MA_j}|=\sum_{j=1}^{n}|\overrightarrow{MA_j}||\overrightarrow{OA_j}| \geq \sum_{j=1}^{n} \overrightarrow{MA_j}\overrightarrow{OA_j}=\sum_{j=1}^{n}\overrightarrow{OA_j}(\overrightarrow{OA_j}-\overrightarrow{OM})=nR^2-\overrightarrow{OM}\sum_{j=1}^{n}\overrightarrow{OA_j}=nR^2}$ .

#3

Dreamkiller ευχαριστώ
Για τον πλουραλισμό και μία προσέγγιση με μιγαδικούς.
Μπορούμε τα σημεία A_1,A_2,...,A_n

να τα θεωρήσουμε ως εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο των n-οστών ριζών z_1,z_2,...,z_n

του θετικού αριθμού R^n

και

είναι η εικόνα του

. Έχουμε

Για το αριστερό σκέλος της ανισότητας:
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}MA_k=\displaystyle\sum_{k=1}^n|z-z_k|=\displaystyle\sum_{k=1}^n|z_k||\frac {z}{z_k}-1|=$
$R\displaystyle\sum_{k=1}^n|\frac {z\bar{z_k}}{R^2}-1| \geq R| \displaystyle\sum_{k=1}^n(\frac{z\bar{z_k}}{R^2}-1|=R|-n+ \frac {z}{R^2}\displaystyle\sum_{k=1}^n\bar{z_k}|=nR$
Για το δεξιό σκέλος της ανισότητας:
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}MA_k=\displaystyle\sum_{k=1}^n|z-z_k|\leq \displaystyle\sum_{k=1}^n|z|+\displaystyle\sum_{k=1}^n|z_k|=nOM+nR$

Κανονικό πολύγωνο

Κανονικό πολύγωνο

Re: Κανονικό πολύγωνο

Re: Κανονικό πολύγωνο

Μέλη σε σύνδεση