Μιγάς

Ιστοσελίδα · #1

Υποθέτουμε ότι για τον μιγαδικό αριθμό $\displaystyle{z}$ ισχύει: $\displaystyle{ (1 - i\bar z)^\nu = \frac{{\alpha - \beta i}}{{\alpha + \beta i}} }$ όπου $\displaystyle{ \alpha }$ , $\displaystyle{ \beta }$ πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{ \alpha \ne 0 }$ ή $\displaystyle{ \beta \ne 0 }$ και $\displaystyle{ \nu }$ θετικός ακέραιος.

α) Να εξετάσετε αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{z}$ που επαληθεύουν την παραπάνω ισότητα.

β) Να δείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού $\displaystyle{z}$ στο μιγαδικό επίπεδο, κινείται σε κύκλο.

γ) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{ 4 \le \left| {z - 3 - 5i} \right| \le 6 }$

δ) Όταν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού $\displaystyle{z}$ κινείται σε κύκλο, που κινείται η εικόνα του μιγαδικού $\displaystyle{ w = \frac{1}{z} }$ με $\displaystyle{ z \ne 0 }$

Γιώργος Απόκης · #2

Καλησπέρα. Γεμάτη άσκηση!

α) Έστω $z\in \mathbb R$ που ικανοποιεί τη δοσμένη. Τότε $\displaystyle{(1-iz)^v=\frac{a-\beta i}{a+\beta i}\Rightarrow \left|(1-iz)^v\right|=\frac{|a-\beta i|}{|a+\beta i|}\Rightarrow \left|1-iz \right|^v=1 \Rightarrow \left|1-iz \right|=1 \Rightarrow }$

$\displaystyle{\Rightarrow \sqrt{1+z^2}=1\Rightarrow 1+z^2=1\Rightarrow z=0}$ . Όμως για z=0

έχουμε $\displaystyle{1=\frac{a-\beta i}{a+\beta i}\Leftrightarrow a-\beta i=a+\beta i \Leftrightarrow \beta=0}$ (άτοπο).

β) Παρόμοια με παραπάνω, παίρνοντας μέτρα, έχουμε $\displaystyle{\left|1-i \bar{z} \right|^v=1 \Leftrightarrow }\left|1-i \bar{z} \right|=1 \Leftrightarrow \left|i(-i- \bar{z}) \right|=1 \Leftrightarrow \left|\bar{z}+i \right|=1 \Leftrightarrow \left|z-i \right|=1}$ (1)

Δηλαδή η εικόνα του

κινείται στον κύκλο με K(0,1)

και $\rho=1$ .

γ) Έστω A=|z-3-5i|=|(z-i)+(-3-4i)|

. Τότε, από την τριγωνική ανισότητα, έχουμε

$\displaystyle{\left||z-i|-|-3-4i|\right|\leq A \leq |z-i|+|-3-4i|\Leftrightarrow \left|1-5\right|\leq A \leq 1+5\Leftrightarrow 4\leq |z-3-5i|\leq 6}$ .

δ) Είναι $\displaystyle{z=\frac{1}{w}}$ άρα η σχέση (1) γίνεται $\displaystyle{\left|\frac{1}{w}-i\right|=1\Leftrightarrow \frac{|1-iw|}{|w|}=1\Leftrightarrow |1-iw|=|w|\overset{w=x+yi}\Leftrightarrow |1-i(x+yi)|=|x+yi|\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow |(1+y)-xi|=|x+yi|\Leftrightarrow (1+y)^2+x^2=x^2+y^2\Leftrightarrow 1+2y+y^2+x^2=x^2+y^2\Leftrightarrow y=-\frac{1}{2}}$ δηλαδή ευθεία.

Γιώργος Απόκης · #3

Καλημέρα. Τώρα πρόσεξα το $\alpha \ne 0 \color{red}~\acute{\eta}~\color{black}\beta \ne 0$ . H λύση του ερωτήματος α) έγινε με $\alpha \ne 0 \color{red}~\kappa a \iota ~\color{black}\beta \ne 0$ .

Mε την εκφώνηση του Σπύρου ... φτάνοντας στο $\beta =0$ έχουμε (αντικατάσταση) $\displaystyle{1=\frac{\alpha}{\alpha}}$ που ισχύει για $\alpha \ne 0$ .

Tελικά, υπάρχει πραγματικός, ο z=0

όταν $\alpha \ne 0,~\beta=0$ .

Μιγάς

Μιγάς

Re: Μιγάς

Re: Μιγάς

Μέλη σε σύνδεση