ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ

#1

chris · #2

Θεωρούμε στο επίπεδο τα σημεία $\displaystyle A(6,0),B(6,8),C(0,8),O(0,0)$ που παρατηρούμε οτι σχηματίζουν oρθογωνιο και έστω M(x,y)

η εικόνα του

οπότε έχουμε να βρούμε το ελάχιστο της παράστασης:

$\displaystyle (MO)+(MA)+(MB)+(MC)$ και απο την τριγωνική ανισότητα έχουμε:

$\displaystyle (MO)+(MB)\geq (OB)=10$
$\displaystyle (MA)+(MC)\geq (AC)=10$
και προσθέτοντας κατά μέλη είναι:
$\displaystyle S\geq 20$

με την ισότητα να ισχύει οταν $\displaystyle z=3+4i$ δηλαδή οταν η εικόνα του

είναι το κέντρο του ορθογωνίου προκειμένου να έχουμε ταυτόχρονα ισότητα στις παραπάνω δύο ανισότητες.

Άρα $\displaystyle S_{min}=20$

EDIT:Ευχαριστώ το Στάθη παρακάτω για τη διόρθωση

#3

chris έγραψε:Θεωρούμε στο επίπεδο τα σημεία $\displaystyle A(6,0),B(6,8),C(0,8),O(0,0)$ που παρατηρούμε οτι σχηματίζουν τετράγωνο και έστω η εικόνα του οπότε έχουμε να βρούμε το ελάχιστο της παράστασης:

$\displaystyle (MO)+(MA)+(MB)+(MC)$ και απο την τριγωνική ανισότητα έχουμε:

$\displaystyle (MO)+(MB)\geq (OB)=10$
$\displaystyle (MA)+(MC)\geq (AC)=10$
και προσθέτοντας κατά μέλη είναι:
$\displaystyle S\geq 20$

με την ισότητα να ισχύει οταν $\displaystyle z=3+4i$ δηλαδή οταν η εικόνα του είναι το κέντρο του τετραγώνου προκειμένου να έχουμε ταυτόχρονα ισότητα στις παραπάνω δύο ανισότητες.

Άρα $\displaystyle S_{min}=20$

Ας προσθέσουμε και το σχήμα για την όμορφη λύση που έδωσε ο Χρήστος ας σημειώσω και ένα "τυπογραφικό" λάθος. Ο Χρήστος θέλει να πει "ορθογώνιο" αντί για "τετράγωνο"

Φιλικά
Στάθης

parmenides51 · #4

Η παραπάνω ανισότητα ισχύει σε κάθε τετράπλευρο, δηλαδή το άθροισμα των αποστάσεων ενός σημείου από τις τέσσερεις κορυφές τετραπλεύρου γίνεται ελάχιστο όταν το σημείο ταυτιστεί με το σημείο τομής των διαγωνίων του.
Σχετικά δείτε την δημοσίευση εδω καθώς και τις παραπομπές της.

Μπουμπουλής Κώστας · #5

δίνει την ισότητα.
( Ο z = 3+4i

προκύπτει ως κοινή λύση των εξισώσεων z = -z+6+8i

και

που προφανώς έχει κι αυτό τη γεωμετρική του ερμηνεία)

ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ

ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ

Μέλη σε σύνδεση