Μιγαδικοί Αριθμοί 2

Γιώργος Κ77 · #1

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,u,w

με εικόνες τα σημεία A,B,C

, αντίστοιχα.
Αν ισχύει :
$\left|z \right|=\left|u \right|=\left|w \right|=1$ και $zu\left(z+u \right)+uw\left(u+w \right)+wz\left(w+z\right)=0$
να αποδείξετε ότι
$\left(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\right)^{2}=\vec{OA}^{2}+\vec{OB}^{2}+\vec{OC}^{2}.$

#2

Γιώργος Κ77 έγραψε:Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί με εικόνες τα σημεία , αντίστοιχα.
Αν ισχύει :
$\left|z \right|=\left|u \right|=\left|w \right|=1$ και $zu\left(z+u \right)+uw\left(u+w \right)+wz\left(w+z\right)=0$ (1)
να αποδείξετε ότι
$\left(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\right)^{2}=\vec{OA}^{2}+\vec{OB}^{2}+\vec{OC}^{2}.$

Θέτουμε

, οπότε η (1) γράφεται

$zu(K-w)+uw(K-z)+wz(K-u)=0 \Rightarrow K(zu+uw+wz)=3wuz$

$\Rightarrow K\left(\frac {1}{w}+\frac {1}{z}+\frac {1}{u}\right)=3$

$\Rightarrow K\left(\bar{w}+\bar{z}+\bar{u}\right)=3$

$\Rightarrow K\bar{K}=3 \Rightarrow \left|K\right|^2=3$

$\Rightarrow \left(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\right)^2=3$

$\Rightarrow 3+2\left(\vec{OA}\cdot \vec{OB}+\vec{OB}\cdot\vec{OC}+\vec{OC}\cdot \vec{OA}\right)=3$

$\vec{OA}\cdot \vec{OB}+\vec{OB}\cdot\vec{OC}+\vec{OC} \cdot \vec{OA}=0$ , οπότε η ζητούμενη είναι προφανής

Γιώργος Κ77 · #3

$\left(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\right)^{2}=\vec{OA}^{2}+\vec{OB}^{2}+\vec{OC}^{2}\Leftrightarrow \vec{OA}\vec{OB}+\vec{OB}\vec{OC}+\vec{OC}\vec{OA}=0$ . (1)

Εύκολα αποδεικνύεται ότι : $Re\left(z\bar{u} \right)=\vec{OA}\vec{OB}$ .(2)

Συνεπώς, η σχέση (1), λόγω της (2), γίνεται :

$Re\left(z\bar{u} \right)+Re\left(u\bar{w} \right)+Re\left(w\bar{z} \right)=0\Leftrightarrow$ \displaystyle{Re\left(z\bar{u}+u\bar{w}+w\bar{z} \right)=0\Leftrightarrow

\Leftrightarrow} $\left( z\bar{u}+u\bar{w}+w\bar{z}\right)\in I\Leftrightarrow z\bar{u}+u\bar{w}+w\bar{z}=-\bar{z}u-\bar{u}w-\bar{w}z\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ \displaystyle{\frac{z}{u}+\frac{u}{z}+\frac{u}{w}+\frac{w}{u}+\frac{w}{z}+\frac{z}{w}=0\Leftrightarrow} $zu\left(z+u \right)+uw\left(u+w \right)+wz\left(w+z\right)=0$ , που ισχύει από την υπόθεση.

pito · #4

Μια άλλη κουραστική ιδέα:

Αρκεί $\displaystyle \vec{OA}\vec{OB}+\vec{OB}\vec{OC}+\vec{OA}\vec{OC}=0\Rightarrow |z||u|cos(\vec{OA},\vec{OB})+|u||w|cos(\vec{OB},\vec{OC})+|z||w|cos(\vec{OA},\vec{OC})=0\Leftrightarrow |z-u|^{2}+|u-w|^{2}+|z-w|^{2}=6$ (1)

γιατί από το νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο AOB

είναι $\displaystyle cos(\vec{OA},\vec{OB})=\frac{|z|^{2}+|u|^{2}-|z-u|^{2}}{2|u||z|}$ , όμοια και στα τρίγωνα AOC, BOC

(1) $\displaystyle \Leftrightarrow 6=|z|^{2}-z\bar{u}-u\bar{z}+|u|^{2}-u\bar{w}-w\bar{u}+|u|^{2}+|z|^{2}-z\bar{w}-w\bar{z}+2|w|^{2}\Leftrightarrow z\bar{u}+u\bar{z}+u\bar{w}+w\bar{u}+z\bar{w}+w\bar{z}=0$ (2)

'Oμως αφού $\displaystyle |z|=1\Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z}$ , όμοια $\bar{w}=\frac{1}{w},\bar{u}=\frac{1}{u}$

$\displaystyle (2)\Leftrightarrow \frac{z}{u}+\frac{u}{z}+\frac{u}{w}+\frac{w}{u}+\frac{z}{w}+\frac{w}{z}=0\Leftrightarrow z^{2}w+u^{2}w+zu^{2}+w^{2}z+uz^{2}+w^{2}u=0$ , που ισχύει λόγω της υπόθεσης.

Μιγαδικοί Αριθμοί 2

Μιγαδικοί Αριθμοί 2

Re: Μιγαδικοί Αριθμοί 2

Re: Μιγαδικοί Αριθμοί 2

Re: Μιγαδικοί Αριθμοί 2

Μέλη σε σύνδεση