Τρίγωνο με μιγαδικούς

#1

Αν

μιγαδικοί που ικανοποιούν την σχέση z_2 - z_3 = 2i (z_1 - z_3)

και αν

οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο,
α) Εξετάστε αν τα σημεία Α, Β, C σχηματίζουν τρίγωνο.
β) Δείξτε ότι το τρίγωνο ΑΒC είναι ορθογώνιο.
γ) Δείξετε ότι |z_2 - z_3| = 2|z_1 - z_3|

και $|z_2 - z_1| = \sqrt{5}|z_1 - z_3|$ .

Παρακαλείται όποιος συνάδελφος μπορεί, να κάνει την μετατροπή στο latex. Ευχαριστώ
Χρήστος Τσιφάκης

(έκανα την μετατροπή σε ΤΕΧ. Ελπίζω να είναι καλά. Μ.Λ.)

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #2

α) Τα Α , Β , C είναι συνευθειακά αν και μόνο αν $\displaystyle{ \mathop {CB}\limits^ \to = \lambda \cdot \mathop {CA}\limits^ \to \Leftrightarrow z_2 - z_3 = \lambda \cdot \left( {z_1 - z_3 } \right) }$
όπου λ πραγματικός , άρα λόγω της δοσμένης ισότητας τα σημεία Α , Β , C θα σχηματίζουν τρίγωνο .

β) Βάζουμε μέτρα στην ισότητα $\displaystyle{ z_2 - z_3 = 2 \cdot i \cdot \left( {z_1 - z_3 } \right) }$ και προκύπτει
|z_2 - z_3| = 2|z_1 - z_3|

Επίσης η αρχική ισότητα παίρνει τη μορφή $\displaystyle{ z_2 - z_1 = 2 \cdot i \cdot \left( {z_1 - z_3 } \right) - z_1 + z_3 \Rightarrow z_2 - z_1 = \left( {1 - 2 \cdot i} \right) \cdot \left( {z_3 - z_1 } \right) }$
και βάζοντας μέτρα προκύπτει η ισότητα $|z_2 - z_1| = \sqrt{5}|z_1 - z_3|$ .
Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ \left| {z_1 - z_2 } \right|^2 = 5 \cdot \left| {z_1 - z_3 } \right|^2 = 4 \cdot \left| {z_1 - z_3 } \right|^2 + \left| {z_1 - z_3 } \right|^2 = \left| {z_2 - z_3 } \right|^2 + \left| {z_1 - z_3 } \right|^2 }$ ,
άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο .

Χρήστο εκτός από τη μετατροπή σε tex έκανα και εγώ μια μετατροπή στα ερωτήματα , πιστεύω να μη σε πειράζει

#3

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:α) Τα Α , Β , C είναι συνευθειακά αν και μόνο αν $\displaystyle{ \mathop {CB}\limits^ \to = \lambda \cdot \mathop {CA}\limits^ \to \Leftrightarrow z_2 - z_3 = \lambda \cdot \left( {z_1 - z_3 } \right) }$
όπου λ πραγματικός , άρα λόγω της δοσμένης ισότητας τα σημεία Α , Β , C θα σχηματίζουν τρίγωνο .

β) Βάζουμε μέτρα στην ισότητα $\displaystyle{ z_2 - z_3 = 2 \cdot i \cdot \left( {z_1 - z_3 } \right) }$ και προκύπτει

Επίσης η αρχική ισότητα παίρνει τη μορφή $\displaystyle{ z_2 - z_1 = 2 \cdot i \cdot \left( {z_1 - z_3 } \right) - z_1 + z_3 \Rightarrow z_2 - z_1 = \left( {1 - 2 \cdot i} \right) \cdot \left( {z_3 - z_1 } \right) }$
και βάζοντας μέτρα προκύπτει η ισότητα $|z_2 - z_1| = \sqrt{5}|z_1 - z_3|$ .
Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ \left| {z_1 - z_2 } \right|^2 = 5 \cdot \left| {z_1 - z_3 } \right|^2 = 4 \cdot \left| {z_1 - z_3 } \right|^2 + \left| {z_1 - z_3 } \right|^2 = \left| {z_2 - z_3 } \right|^2 + \left| {z_1 - z_3 } \right|^2 }$ ,
άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο .

Χρήστο εκτός από τη μετατροπή σε tex έκανα και εγώ μια μετατροπή στα ερωτήματα , πιστεύω να μη σε πειράζει

Χρήστο έχεις ενώσει τα ερωτήματα β) και γ)
Πολύ σωστά στο α) το 2i δεν είναι πραγματικός
το β) βγαίνει πολύ ωραία με συντεταγμένες λ1 λ2 = -1 και φυσικά με την στροφή (γινόμενο - τριγωνομετρική μορφή) που είναι εκτός ύλης εξετάσεων
Χρήστος

Τρίγωνο με μιγαδικούς

Τρίγωνο με μιγαδικούς

Re: Τρίγωνο με μιγαδικούς

Re: Τρίγωνο με μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση