Μιγαδικοί 12

mathxl · #1

Παρακαλώ όχι λακωνική απάντηση

12. Δίνονται οι ανά δύο διαφορετικοί μιγαδικοί ${z_1},{z_2},{z_3}$ τέτοιοι ώστε $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| > 0$
. Εάν οι αριθμοί ${z_1} + {z_2}{z_3},{z_2} + {z_1}{z_3},{z_3} + {z_1}{z_2}$ είναι πραγματικοί, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{z_1}{z_2}{z_3} = 1}$ .

(1979 Romanian Math Olympiad, State Competition, 10th grade)

#2

Έστω

. Τότε $\overline{z_i}=\dfrac{r^2}{z_i}, \ \ i=1,2,3 \ \ (\star)$

$z_1+z_2z_3\in\mathbb{R}$ και $z_2+z_3z_1\in\mathbb{R}$ άρα αφαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε:

$(z_1-z_2)(1-z_3)\in\mathbb{R}$ άρα $(z_1-z_2)(1-z_3)=\overline{(z_1-z_2)(1-z_3)}$ απ' όπου με τη βοήθεια της $(\star)$ και πράξεις (απλοποιώντας το z_1-z_2

) παίρνουμε τελικά:

$z_1z_2z_3(1-z_3)=r^2(r^2-z_3) \ \ (1)$

Εντελώς όμοια παίρνουμε επίσης

$z_1z_2z_3(1-z_1)=r^2(r^2-z_1) \ \ (2)$

Από τις (1), (2)

με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε z_1z_2z_3(z_1-z_3)=r^2(z_1-z_3)

απ' όπου $z_1z_2z_3=r^2 \ \ (3)$ .

Παίρνοντας μέτρα στην (3)

έχουμε

άρα από την (3)

έχουμε τελικά z_1z_2z_3=1

, που είναι το ζητούμενο.

Αλέξανδρος

parmenides51 · #3

εδώ, εδώ κι εδώ

#4

Αλέξανδρε, ωραία λύση !

Θυμόμουνα ότι η άσκηση είναι από τον Andreescu στο βιβλίο ''Complex Numbers A to Z '' , αλλά εκεί η λύση δεν μου αρέσει, πέρα από το ότι έχει και τυπικά αλγεβρικά κενά στην εφαρμογή των ιδιοτήτων των αναλογιών.

Σήμερα προσπάθησα να τη λύσω διαφορετικά, έκανα τα ίδια με σένα, αλλά σταμάτησα στις πρώτες σχέσεις .

Είχα και δουλειά και τα παράτησα.Θυμόμουν όμως ότι την είχες λύσει εδώ και ήρθα να συμπληρώσω τη λύση μου από τη δική σου έμπνευση !

Μπάμπης

#5

Μπάμπη σ' ευχαριστώ πολύ! Δεν θυμόμουν καθόλου ότι την είχα (ξανα)λύσει στο παρελθόν. Παρά το ότι οι δύο λύσεις μοιάζουν, η λύση που βρίσκεται παραπάνω μου αρέσει περισσότερο από εκείνη στο link εδώ καθώς είναι συντομότερη.

Αλέξανδρος

Μιγαδικοί 12

Μιγαδικοί 12

Re: Μιγαδικοί 12

Re: Μιγαδικοί 12

Re: Μιγαδικοί 12

Re: Μιγαδικοί 12

Μέλη σε σύνδεση