Μιγάδας και πραγματικός

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλημέρα.
Για κάποια θέματα έχει γίνει μεγάλη συζήτηση.
Ας δούμε λοιπόν ένα θέμα που τουλάχιστον η αφεντιά μου το προσεγγίζει (το πρώτο ερώτημα) με ένα τρόπο για την ορθότητα του οποίου έχει χυθεί πολύ μελάνι.

Για τους αριθμούς $\displaystyle{x \in {\mathbb{R}^*}}$ και $\displaystyle{z \in {\mathbb{C}^*}}$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{\left( {z + \frac{1}{z}} \right) \cdot \left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 4}$ .

1. (Λυκειακό έρώτημα) Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\left| z \right| = 1}$ .
2. (Μη Λυκειακό ερώτημα) Αν $\displaystyle{\frac{{Arq(z)}}{\pi } \notin Q}$ , Q το σύνολο των ρητών πραγματικών, να δειχθεί ότι για κάθε $\displaystyle{\nu \in {\mathbb{Z}^*}}$ ισχύει ότι $\displaystyle{{z^\nu } \ne 1}$ .

Ευχαριστώ,
Θωμάς

Ηλίας Θ. · #2

Καλημέρα.
Θα περιγράψω την λύση μου, αφού δεν έχω εξοικειωθεί με το LaTex.
Προφανώς κύριε Θωμά, αναφέρεστε στην διακρίνουσα. Όμως εδώ δεν υπάρχει η, προβληματική, σχέση του z με τον x.

α) Θέτω $x+\frac{1}{x}=\alpha$ , και παίρνω την εξίσωση az^2-4z+a=0

, $\alpha \neq 0$ πραγματικός, η οποία έχει διακρίνουσα αρνητική, $\Delta =-4\alpha ^{2}$ . Άρα και ρίζες μιγαδικές συζυγείς με γινόμενο ίσο με 1. Έτσι $z_{1}z_{2}=1$ , άρα $|z_{1}|^{2}=1$ απ' όπου βγαίνει το ζητούμενο.
β) Αφού |z|=1, τότε z=συνθ+iημθ, όπου θ=Arg(z). De Moivre και $z^{v}=\sigma \upsilon \nu \left(\theta \nu \right)+i\eta \mu \left(\theta \nu \right)$ . Έστω $z^{v}=1$ , οπότε θν=2κπ άρα $\frac{\theta }{\pi }=\frac{2\kappa }{\nu }$ ρητός, άρα άτοπο

Υ.Γ.1 Ελπίζω σε αυτήν την βιαστική λύση να μην μου ξέφυγε κάτι...
Υ.Γ.2. Θα προσπαθήσω κάποια στιγμή να ανεβάσω σωστά την λύση. Μέχρι τότε ζητώ συγγνώμην για την παρουσίαση και την κατανόησή σας. Ευχαριστώ

Η διόρθωση αφορά στις μαθηματικές εκφράσεις και την χρήση του Latex, μάλλον με μέτρια αποτελέσματα. . .Την δεύτερη φορά καλύτερα

#3

Για το α) χωρίς διακρίνουσα:

Η δοθείσα σχέση γράφεται $z+\frac{1}{z}=4\frac{x}{x^2 +1}$ . Έχουμε λοιπόν $z+\frac{1}{z} \in R$ . Άρα

$z+\frac{1}{z}=\bar{z}+\frac{1}{\bar{z}}$ . Μετά τις πράξεις προκύπτει

$z=\bar{z}$ ή $\left|z \right|=1$ . Αν ισχύει $z=\bar{z}$ o

είναι πραγματικός, οπότε παίρνοντας απόλυτες τιμές στην αρχική και λαμβάνοντας υπόψιν ότι $\left|x+\frac{1}{x} \right| \geq 2$ προκύπτει z=1

ή

. Οπότε σε κάθε περίπτωση $\left|z \right|=1$ .

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #4

Ας δούμε και μια λύση με με επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης με χρήση διακρίνουσας.

$\displaystyle{\left( {z + \frac{1}{z}} \right) \cdot \left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 4 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right){z^2} - 4xz + {x^2} + 1 = 0}$ (ε).
Θεωρώντας την (ε) σαν δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς z, έχουμε $\displaystyle{\Delta = - 4{\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = {\left[ {2i({x^2} - 1)} \right]^2}}$ , οπότε $\displaystyle{z = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} \pm \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}i}$ .
Περνώντας στο μέτρο έχουμε ότι $\displaystyle{\left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}} \right)}^2}} = ... = \sqrt {\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} = 1}$ .

Για το δεύτερο ερώτημα δεν έχω να πω κάτι διαφορετικό.

Σας ευχαριστώ όλους
Θωμάς

Μιγάδας και πραγματικός

Μιγάδας και πραγματικός

Re: Μιγάδας και πραγματικός

Re: Μιγάδας και πραγματικός

Re: Μιγάδας και πραγματικός

Μέλη σε σύνδεση