Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Γ.ΑΣΗΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ · #1

Ίσως να έχει ξανασυζητηθεί!
Πολλές φορές συναντάμε το εξής: Αν f(x)>x τότε (κοντά στο $+\propto$ ) ισχύει: $\lim_{x\rightarrow +\propto }f(x)>\lim_{x\rightarrow +\propto }x=+\propto$ άρα και
$\lim_{x\rightarrow +\propto }f(x)=+\propto$ .

Τελικά ισχύει το κριτήριο παρεμβολής και στην περιπτωση του απείρου; Ή πρέπει να κάνουμε το εξής:
$f(x)>x\Leftrightarrow 0<\frac{1}{f(x)}<\frac{1}{x}$
και επειδή
$\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{1}{x}=0$
άρα απο κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει και
$\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{1}{f(x)}=0$
οπότε και
$\lim_{x\rightarrow +\propto }f(x)=+\propto$
Περιμένω τις απόψεις σας
Φιλικά
Γιώργος Ασημακόπουλος

A.Spyridakis · #2

Γεια σου Γιώργο.
Ναι, το 'χουμε ξανασυζητήσει, και προσωπικά κάνω ό,τι περιέγραψες παραπάνω.
Στο σχολικό βιβλίο μιλά για κριτήριο παρεμβολής στο

, δηλ. πραγματικό, και για "εγκλωβισμό".
Δεν θα είχε δηλ. νόημα -για την ύλη του σχολικού πάντα- να πούμε ότι αφού $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$
και τα δύο ακριανά όρια είναι π.χ. $+\infty$ , η f να εγκλωβίζεται μεταξύ δύο $+\infty$ !
Με τα υπόλοιπα που γράφεις βέβαια, όπως είπα, συμφωνώ απολύτως!

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Για τους μαθητές της Γ Λυκείου προτείνω:

Εγώ θεωρώ ότι δεν χρειάζεται καμία απόδειξη ή υπόδειξη, αφού στο βιβλίο λέει ότι ισχύουν όλες οι ιδιότητες που ισχύουν τα όρια στον πραγματικό αριθμό x_0

και αν θυμάμαι καλά το βιβλίο έχει και αντίστοιχες ασκήσεις

Για εμάς τώρα:
Και εγώ θεωρώ ότι υπάρχει θέμα πληρότητας του βιβλίου, και να σας πω την αλήθεια στους μαθητές ανέφερα την λύση που γράφει ο Γιώργος, αλλά υπογράμμισα ότι δεν χρειάζεται καμία αναφορά μόλις το εφαρμόσουν,

Αναμένω και άλλες απόψεις για το όμορφο θέμα που άνοιξε ο Γιώργος

A.Spyridakis · #4

Ρε Μάκη, έχεις δίκιο. Αλλά... είναι ΑΚΡΙΒΩΣ όπως τα λες: Οι ιδιότητες που ισχύουν στο x_0

ισχύουν και στο $\pm \infty$ . Όχι όταν το όριο είναι $\pm \infty$ .
Ας "ακούσουμε" και άλλους, σοφότερους, βεβαίως-βεβαίως...

#5

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Για τους μαθητές της Γ Λυκείου προτείνω:

Εγώ θεωρώ ότι δεν χρειάζεται καμία απόδειξη ή υπόδειξη, αφού στο βιβλίο λέει ότι ισχύουν όλες οι ιδιότητες που ισχύουν τα όρια στον πραγματικό αριθμό και αν θυμάμαι καλά το βιβλίο έχει και αντίστοιχες ασκήσεις

Το έχουμε ξανασυζητήσει αλλά δεν μπορώ να βρώ που. Η γνώμη μου είναι ότι ο Μάκης έχει δίκιο. η αναφορά στην σελίδα 184 του σχολικού (περί αυτής πρόκειται) "πιάνει" όλα τα όρια, όπου και να τείνει το

, όπου και να τείνει το f(x)

. Φυσικά όπως σωστά επισημαίνει ο Αντώνης στην περίπτωση όπου το όριο είναι άπειρο δεν χρειαζόμαστε διπλή ανισότητα αλλά απλή.
Υπενθυμίζω ότι το 2005 η επιτροπή των εξετάσεων έστειλε οδηγία στα βαθμολογικά κέντρα να δέχονται την ιδιότητα που αναφέρει ο Γιώργος χωρίς απόδειξη.
Μαυρογιάννης

A.Spyridakis · #6

nsmavrogiannis έγραψε:Υπενθυμίζω ότι το 2005 η επιτροπή των εξετάσεων έστειλε οδηγία στα βαθμολογικά κέντρα να δέχονται την ιδιότητα που αναφέρει ο Γιώργος χωρίς απόδειξη.
Μαυρογιάννης

Αααα αυτό δεν το ήξερα Νίκο. Εκείνη τη χρονιά διόρθωσα Στατιστική.
Πάντως ρε γμτ, πάλι δε μου λύνει το πρόβλημα. Μια οδηγία του 2005 είναι καλή ένδειξη
για να θεωρηθεί σωστή μια τέτοια αντιμετώπιση, αλλά μπορεί να θεωρηθεί ως δεδικασμένο?

#7

Μήπως είναι αυτό εδώ ;

viewtopic.php?f=5&t=193&p=905#p905

Μπάμπης

mathxl · #8

Συμμερίζομαι τον Αντώνη. Είναι επιπολαιότητα..αδιαφορία...όπως θες πέστο το, του ΠΙ ή της επιτροπής...πόσο δύσκολο είναι να σταλεί μία επίσημη οδηγία στην αρχή της χρονιάς. Θυμάμαι πήγε να αρχίσει ο Μπάμπης κάτι αλλά δεν προχώρησε...περί παρακλήσεων στο ΠΙ ή ΚΕΕ ώστε να μας αποσαφηνιστεί ένα κάρο αποριών

#9

mathxl έγραψε:................. Είναι επιπολαιότητα..αδιαφορία...όπως θες πέστο το, του ΠΙ ή της επιτροπής...πόσο δύσκολο είναι να σταλεί μία επίσημη οδηγία στην αρχή της χρονιάς. Θυμάμαι πήγε να αρχίσει ο Μπάμπης κάτι αλλά δεν προχώρησε...περί παρακλήσεων στο ΠΙ ή ΚΕΕ ώστε να μας αποσαφηνιστεί ένα κάρο αποριών

Βασίλη, τα έδωσα, αλλά εσύ το ξέρεις καλά: ο καλός φίλος με τον οποίο είχα τη σύνδεση έφυγε από την υπηρεσία και τώρα πρέπει να βρω άλλον τρόπο.
Μπορεί και να επαναφέρω όμως κάποια στιγμή το θέμα , έστω σε άλλα άτομα. Μπορεί και να συμφωνήσουν, αν δεν έχουμε σύντομα αλλαγές στα μαθήματα, τα βιβλία και το σύστημα των εξετάσεων.

Μπάμπης

Γ.ΑΣΗΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ · #10

Παιδιά ευχαριστώ πολύ όλους για την άμεση απάντηση. Είναι αλήθεια ότι τόσα χρόνια το έδινα στους μαθητές μου έτσι εφαρμόζοντας την ιδιότητα και στο άπειρο. Τόν προβληματισμό μου τον δημιούργησε ο τρίτος γιός μου που δίνει εφέτος εξετάσεις και σε κάποιο βοήθημα είδε να λύνεται με τον δεύτερο τρόπο! Τελικά όμως συμφωνώ πώς η παρατήρηση στη σελίδα 184 που είπε ο Νίκος καλύπτει το θέμα. Νάσται καλά όλοι.
Γιώργος Ασημκόπουλος

#11

Γ.ΑΣΗΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ έγραψε:Παιδιά ευχαριστώ πολύ όλους για την άμεση απάντηση. Είναι αλήθεια ότι τόσα χρόνια το έδινα στους μαθητές μου έτσι εφαρμόζοντας την ιδιότητα και στο άπειρο. Τόν προβληματισμό μου τον δημιούργησε ο τρίτος γιός μου που δίνει εφέτος εξετάσεις και σε κάποιο βοήθημα είδε να λύνεται με τον δεύτερο τρόπο! Τελικά όμως συμφωνώ πώς η παρατήρηση στη σελίδα 184 που είπε ο Νίκος καλύπτει το θέμα. Νάσται καλά όλοι.
Γιώργος Ασημκόπουλος

Γιώργο, καταρχήν καλή επιτυχία στο γιο σου !

Στο ίδιο μήκος κύματος κινείται και η κουβέντα που έχουμε κανει εδώ :

viewtopic.php?f=61&t=3511&p=18856&hilit ... %99#p18856

Πρόκειται σίγουρα για σχετικά σοβαρά πράγματα που από χρόνια θα έπρεπε και τυπικά να τα έχουμε λύσει από χρόνια με σαφείς οδηγίες και διευκρινησεις από το ΠΙ και τους συγγραφείς του σχολικού βιβλίου της Γ ' - Λυκείου. Μέχρι στιγμής τα λύνουμε βασιζόμενοι στην καλή μας διάθεση και την παιδαγωγική αρτιότητα των συναδέλφων που διδάσκουν, βαθμολογούν ή συντονίζουν τα βαθμολογικά κέντρα.
Επειδή όμως υπάρχουν μικρές αποκλίσεις στην ερμηνεία ορισμένων σημείων - φυσικά αυτό είναι υγιές για ένα τόσο μεγάλο κλάδο - , πρέπει να πάρουν τα σκήπτρα οι σχολικοί σύμβουλοι, στο έργο των οποίων δίνω μεγάλη σημασία , και να παρέμβουν δυναμικά ώστε το ΠΙ να δώσει καλές οδηγίες . Δεν πρόκειται άλλωστε για χιλιάδες παρατηρήσεις, αλλά το πολύ για καμιά 10-15 σημεία.
Αν μπορέσει να βρει κανένας που συμμετείχε στην συζήτηση το σχετικό μήνυμα που είχα ανοίξει πέρυσι για να μαζέψω αυτές τις παρατηρήσεις, ας με βοηθήσει να το βρω. Ίσως το εμπλουτίσουμε κάπως και το ξαναδώσουμε .

Μπάμπης

#12

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Αν μπορέσει να βρει κανένας που συμμετείχε στην συζήτηση το σχετικό μήνυμα που είχα ανοίξει πέρυσι για να μαζέψω αυτές τις παρατηρήσεις, ας με βοηθήσει να το βρω. Ίσως το εμπλουτίσουμε κάπως και το ξαναδώσουμε .

Μπάμπης

Μπάμπη,μήπως λες αυτό;;;

#13

Φωτεινή έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Αν μπορέσει να βρει κανένας που συμμετείχε στην συζήτηση το σχετικό μήνυμα που είχα ανοίξει πέρυσι για να μαζέψω αυτές τις παρατηρήσεις, ας με βοηθήσει να το βρω. Ίσως το εμπλουτίσουμε κάπως και το ξαναδώσουμε .

Μπάμπης
Μπάμπη,μήπως λες αυτό;;;

Φωτεινή,
χίλια ευχαριστώ και πιο πολλά ακόμα συγνώμη που χρονιάρα μέρα σου ζητάω τέτοια πράγματα , αντί να σε αφήσω ήσυχη να γλεντάς στην ωραία Πύλο !
....Πόσες ωραίες κουβέντες έχουμε κάνει σε αυτό το φόρουμ ! Αναρωτιέμαι αν έχουμε αφήσει και τίποτα !
Να γιατί έγραψα και εκείνη την αναφορά στο ποίημα Σατραπεία, που για μένα είναι συγκλονιστικό στο ευχητήριο μήνυμα για τα δύο χρόνια mathematica !
Και μια και ο χρόνος τελειώνει και το κλίμα είναι εορταστικό να σας ευχαριστήσω άλλη μια φορά όλους για τις άπειρες όμορφες στιγμές που μου χαρίσατε σε αυτό το κλαμπ !

Χρόνια πολλά !

math · #14

Μια ερώτηση θα ήθελα να υποβάλω για να ξεκαθαρίσω κάτι: κριτήριο παρεμβολής με $h\left( x \right)\le f\left( x \right)\le g\left( x \right)$
αν $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=+\infty$ τότε $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty$ ισχύει;
Επίσης κριτήριο παρεμβολής με $h\left( x \right)\le f\left( x \right)\le g\left( x \right)$
αν $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\ell$ τότε $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\ell$ ισχύει;
Και τέλος κριτήριο παρεμβολής με $h\left( x \right)\le f\left( x \right)\le g\left( x \right)$ αν $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=+\infty$ τότε $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty$ ισχύει;
'Ολα τα παραπάνω απαιτούν απόδειξη; Όλα τα παραπάνω ισχύουν και με αυστηρές ανισώσεις;

#15

math έγραψε: 'Ολα τα παραπάνω απαιτούν απόδειξη;

Οι αποδείξεις είναι απλές. Υπάρχουν άλλωστε στα παραπάνω.

math έγραψε: Όλα τα παραπάνω ισχύουν και με αυστηρές ανισώσεις;

Ναι, για τετριμμένο λόγο: Ισχύει $a<b \Rightarrow a\le b$ (η αριστερή ανισότητα είναι ισχυρότερη).

math · #16

Άρα αν κατάλαβα καλά ισχύουν και τα 3 που έγραψα; Μπορεί να τα χρησιμοποιήσει ο μαθητής χωρίς απόδειξη;

Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Re: Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Re: Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Re: Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Re: Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Re: Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Re: Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Re: Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Re: Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Re: Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Re: Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Re: Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Re: Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Re: Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Re: Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Re: Κριτήριο παρεμβολής στο άπειρο

Μέλη σε σύνδεση