Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Χρήστος Λαζαρίδης · #1

Άσκηση 5

α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\frac{x}{2} + \frac{{\eta \mu 2x}}{4} < \frac{\pi }{4}}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in (0,\frac{\pi }{2})}$ .

β) Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{x^2 - \frac{{\sigma \upsilon \nu 2x}}{2} < \pi x - \frac{{3\pi ^2 }}{{16}} }$ , $\displaystyle{x \in (0,\frac{\pi }{2})}$ .

Εορταστικά Χρήστος

#2

α)Για την πρώτη, χωρίς συνέπειες Θ.Μ.Τ

Αρκεί $\displaystyle{ \frac{x}{2} + \frac{{\sin (2x)}}{4} < \frac{\pi }{4} \Leftarrow \frac{{2x}}{4} + \frac{{\sin (2x)}}{4} < \frac{\pi }{4} \Leftarrow \sin (2x) < \pi - 2x \Leftarrow \sin (\pi - 2x) < \pi - 2x }$
το οποίο ισχύει όταν το x ανήκει στο (0,π/2)

β) Σίγουρα; Αν υποθέσουμε πως για κάθε χ στο (0,π/2) αληθεύει η συγκεκριμένη, τότε θα αληθεύει και για χ=π/4.

Αν το θέσω όμως προκύπτει: $\displaystyle{ \frac{{\pi ^2 }}{{16}} < \frac{{\pi ^2 }}{{16}} }$

Αφοπλιστικά και προπαντός ήρεμα και φτωχικά απο την ερημική Χάλκη.

Χρήστος Λαζαρίδης · #3

Χρήστο

Για την παρατήρηση σου στο β,ίσως δεν πρόσεξες ότι λέει να λυθεί η ανίσωση.
Πολύ καλή η αντιμετώπιση σου στο α

Φιλικά Χρήστος

#4

Σαφώς!

Εγω είχα στο μυαλό ''Να αποδειχθεί η ανίσωση''!

Το παίρνω πίσω.

Y.Γ: Εξιλεώνομαι παραθέτοντας (μετά λύπης μου, γιατί έψαχνα τριγωνομετρική δικαιολόγηση μα δε βρήκα)

την παρακάτω λύση:
Θεωρώ τη συνάρτηση f με

$\displaystyle{ f(x) = x^2 - \frac{{\sigma \upsilon \nu (2x)}}{2} - \pi x + \frac{{3\pi ^2 }}{{16}},x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right] }$

παραγωγίσιμη και συνεχής στο [0,π/2] με παράγωγο

$\displaystyle{ f'(x) = 2x + \eta \mu (2x) - \pi ,x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right) }$

Λόγω του α) βγάζουμε (απλά νομίζω) f '(x)<0 για κάθε χ στο (0,π.2)

Συνεπώς η f γνησίως φθίνουσα στο [0,π/2]

Η προηγούμενη αβλεψία μου με οδηγεί στο παρακάτω:

Απο τη δοθείσα προκύπτει f(x)<0.

Aρα

$\displaystyle{ f(x) < 0 \Leftrightarrow f(x) < f(\frac{\pi }{4})\mathop \Leftrightarrow \limits^{f \downarrow } x > \frac{\pi }{4} }$
κι επειδή το x ανήκει στ0 (0,π/2) προκύπτει τελικά:

$\displaystyle{ \frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{2} }$

#5

1. Θεωρούμε τη συνάρτηση:
$f(x)=\frac{x}{2}+\frac{sin2x}{4}-\frac{\pi }{4}$
στο διάστημα $\left[x,\frac{\pi }{2} \right]$ που πληροί τις προϋποθέσεις
του Θεωρήματος της Μ.Τ. Άρα υπάρχει τουλάχιστο ένα $\xi \in \left(x,\frac{\pi }{2} \right)$
τέτοιο ώστε:
$\frac{f(x)-f(\frac{\pi }{2})}{x-\frac{\pi }{2}}=f'(\xi )$ (1)
όμως $f'(x)=cos^{2}(x)>0,x\in (0,\frac{\pi }{2})$
άρα από την (1) προκύπτει: $f(x)<f(\frac{\pi }{2})=0$
από την οποία προκύπτει η ζητούμενη.
Σημείωση:
Η σχέση αυτή διαπιστώνεται και χωρίς το Θ.Μ.Τ. μελετώντας τη μονοτονία της f που ορίστηκε ανωτέρω.
Εύκολα διαπιστώνεται ότι αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της και με πεδίο τιμών το διάστημα:
$[-\frac{\pi }{4},0]$
2.
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
$f(x)=x^2-\frac{cos(2x)}{2}-\pi x+\frac{3\pi ^2}{16}(2)$
ορισμένη στο $\left[0,\frac{\pi }{2} \right]$
αυτή έχει:
$f'(x)=2x+sin(2x)-\pi$
f''(x)=2cos^2x>0

Από το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου διαπιστώνεται ότι η πρώτη παράγωγος είναι
γν.αύξουσα με πεδίο τιμών το $\left[-\pi ,0 \right]$ άρα αρνητική στο ανοιχτό $\left(0,\frac{\pi }{2} \right)$
Επομένως στο $\left(0,\frac{\pi }{2} \right)$ η f είναι γνησίως φθίνουσα με πεδίο τιμών
$\left[\frac{3\pi ^2-8}{16},\frac{8-\pi ^2}{16} \right]$
όπου $\frac{3\pi ^2-8}{16}>0,\frac{8-\pi ^2}{16}<0$
Επειδή ακόμα είαι: $f\left(\frac{\pi }{4} \right)=0$
η λύση της ζητούμενης είναι το διάστημα $S=\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2} \right)$
Σημείωση:
Γενικότερα ισχύει:
$\pi x+\frac{2-\pi ^2}{4}<x^2-\frac{cos(2x)}{2}<\pi x-\frac{3\pi ^2}{16},x\in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$

Την καταθέτω αν και δόθηκε λύση από τους προηγούμενους συναδέλφους.

Χρήστος Λαζαρίδης · #6

Για να δικαιολογήσω τον τίτλο, μία μάλλον κλασσική αντιμετώπιση για το α)

α) Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{x}{2} + \frac{{\eta \mu 2x}}{4} - \frac{\pi }{4},x \in [0,\frac{\pi }{2}]}$

Η f είναι συνεχής με $\displaystyle{f^/ (x) = \frac{{1 + \sigma \upsilon \nu 2x}}{2} > 0,x \in (0,\frac{\pi }{2})}$

H f είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[0,\frac{\pi }{2}]}$

Για κάθε $\displaystyle{ x \in (0,\frac{\pi }{2})}$ , $\displaystyle{x < \frac{\pi }{2} \Rightarrow f(x) < f(\frac{\pi }{2}) \Rightarrow \frac{x}{2} + \frac{{\eta \mu 2x}}{4} - \frac{\pi }{4} < 0 \Rightarrow \frac{x}{2} + \frac{{\eta \mu 2x}}{4} < \frac{\pi }{4}}$

Φιλικά Χρήστος

Ευχαριστώ τον Χρήστο.
Τώρα μόλις βλέπω και την απάντηση του ΚDORTSI, τον οποίο επίσης ευχαριστώ.

Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Re: Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Re: Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Re: Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Re: Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Re: Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Μέλη σε σύνδεση