Μελέτη συνάρτησης

mathxl · #1

Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f με τύπο
$\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}}$

Παρακαλώ να δοθεί πλήρης λύση ειδάλλως ας μείνει αναπάντητη.

hlkampel · #2

$f\left( x \right) = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}$

Το πεδίο ορισμού της

είναι το $\left[ {0, + \infty } \right)$

H

είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f'\left( x \right) = \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {\sqrt x + 2} \right) - \left( {\sqrt x - 2} \right)\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)^2 }} = \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)^2 }} > 0}$ με $x \ne 0$

Είναι $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} + 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{2\sqrt x }}{{x\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{2x}}{{x\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} = + \infty$

Δηλαδή η

δεν είναι παραγωγίσιμη στο x_0 = 0

.
Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της και παρουσιάζει ελάχιστο για x =0

το $f\left( 0 \right) = - 1$

$\begin{array}{l} f''\left( x \right) = - \frac{1}{{x\left( {\sqrt x + 2} \right)^4 }}\left[ {\frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {\sqrt x + 2} \right)^2 + 2\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)\frac{1}{{2\sqrt x }}} \right] \Rightarrow \\ f''\left( x \right) = - \frac{1}{{x\left( {\sqrt x + 2} \right)^4 }}\frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 2 + 2\sqrt x } \right) \Rightarrow \\ f''\left( x \right) = - \frac{1}{{x\left( {\sqrt x + 2} \right)^4 }}\frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {3\sqrt x + 2} \right) < 0 \\ \end{array}$

Άρα για κάθε x > 0

η

είναι κοίλη και δεν έχει σημεία καμπής.
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt x - 2}}{{x\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt x \left( {1 - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)}}{{x\sqrt x \left( {1 + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - \frac{2}{{\sqrt x }}}}{{x\left( {1 + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)}}\mathop = \limits^{\frac{1}{{ + \infty }}} 0}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt x \left( {1 - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)}}{{\sqrt x \left( {1 + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)}} = 1$

Άρα η

παρουσιάζει οριζόντια ασύμπτωτη την y = 1

καθώς $x \to + \infty$

Με x = 0

είναι

, οπότε τέμνει τον άξονα y'y

στο σημείο $\left( {0, - 1}\right)$ και
Με y = 0

είναι

, οπότε τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο $\left( {4,0} \right)$

Η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήμα.

mathxl · #3

Ηλία ευχαριστώ για την λύση

. Δίνω και ένα δυναμικό σχήμα που έχει αντίστροφη και δύο εφαπτομένες

hlkampel · #4

mathxl έγραψε:Ηλία ευχαριστώ για την λύση . Δίνω και ένα δυναμικό σχήμα που έχει αντίστροφη και δύο εφαπτομένες

Ευχαριστώ. Ελπίζω η άσκηση να μην χρειαζόταν η άσκηση αντιστροφή και εφαπτομένες γιατί δεν θα άντεχα άλλη πληκτρολόγηση.

Μελέτη συνάρτησης

Μελέτη συνάρτησης

Re: Μελέτη συνάρτησης

Re: Μελέτη συνάρτησης

Re: Μελέτη συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση