Μέγιστο πλήθος ριζών

mathxl · #1

Να βρείτε το μέγιστο πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης ax^n+x^2+bx+c=0

με $a,b,c\in\mathbb{R}$ και n άρτιο μεγαλύτερο ή ίσο του 2

Από τον sTUART cLARK

1) maximum number of real solution of the equation ax^n+x^2+bx+c=0

and $a,b,c\in\mathbb{R}$ and n =

even positive integer

kwstas12345 · #2

Άν

τότε η εξίσωση γίνεται $\displaystyle x^2+bx+c=0$ η οποία έχει το πολύ 2 ρίζες.

Άν a>0

τότε το πολυώνυμο έχει δεύτερη παράγωγο $\displaystyle P''\left(x \right)=n\left(n-1 \right)ax^{n-2}+2>0$ άρα και πάλι η εξίσωση έχει μέχρι δυο ρίζες (το άτοπο εύκολα με Rolle)

Άν n=4

τότε η εξίσωση έχει το πολύ 4 πραγματικές ρίζες ( αρτιες παντα στο πλήθος)

Άν a<0

τότε υπάρχει πιθανότητα η F'' να μηδενιστεί και μάλιστα στα σημεία $\displaystyle P''\left(x \right)=0\Leftrightarrow x^{n-2}=\frac{2}{n\left(n-1 \right)\left|a \right|}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt[n-2]{\frac{2}{n\left(n-1 \right)\left|a \right|}}$ .

Τότε η εξίσωση θα έχει το πολύ 6 ρίζες. Άν υποθέσουμε ότι η εξίσωση έχει 7 ρίζες με Rolle , ξέρωντας ότι η f'' έχεςι δύο ρίζες θα καταλήξουμε σε άτοπο (τότε θα βρούμε ότι έχει 3 ρίζες).

Άρα η εξίσωση έχει το πολύ 6 ρίζες.

Μέγιστο πλήθος ριζών

Μέγιστο πλήθος ριζών

Re: Μέγιστο πλήθος ριζών

Μέλη σε σύνδεση