Ελάχιστο

mathxl · #1

Να βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης
$\displaystyle{f(x) = 10{x^6} - 24{x^5} + 15{x^4} + 40{x^2} + 108,x \in R}$

Από τον Stuart Clark

#2

mathxl έγραψε:Να βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης
$\displaystyle{f(x) = 10{x^6} - 24{x^5} + 15{x^4} + 40{x^2} + 108,x \in R}$

Από τον Stuart Clark

Η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f^{\prime}(x)=20x(3x^4-6x^3+3x^2+4).}$

Η παράσταση $\displaystyle{g(x)=3x^4-6x^3+3x^2+4}$ είναι θετική στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Πράγματι, αυτό είναι φανερό για $\displaystyle{x\leq 0.}$ Αν, τώρα, είναι $\displaystyle{x>0}$ , από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε

$\displaystyle{3x^4+3x^2+4=4+3(x^4+x^2)\geq 4+3\cdot 2\sqrt{x^4x^2}=4+6x^3>6x^3.}$

Επομένως, η παράγωγος της $\displaystyle{f}$ μηδενίζεται μόνο για $\displaystyle{x=0}$ και είναι φανερά αρνητική στο $\displaystyle{(-\infty ,0)}$ , ενώ είναι θετική στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ . Άρα η $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει στο $\displaystyle{0}$ ολικό ελάχιστο το $\displaystyle{f(0)=108.}$

EDIT* Φυσικά, η αναφορά στην ανισότητα ΑΜ-ΓΜ, μπορεί να παραληφθεί, λέγοντας πως, από την προφανή ανισότητα $\displaystyle{(x-1)^2\geq 0}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{x^2+1\geq 2x}$ , άρα και $\displaystyle{x^2(x^2+1)\geq 2x^3,}$

οπότε είναι $\displaystyle{3x^4+3x^2\geq 6x^3.}$

mathxl · #3

Ωραία Θάνο. Καλό είναι να πούμε ότι στην συνηθισμένη αντιμετώπιση, όταν η παράγωγος ισούται με ένα γινόμενο ή πηλίκο και μας ενδιαφέρει το πρόσημο της, τότε ορίζουμε νέα συνάρτηση το μέρος της παραγώγου που δεν έχει προφανές πρόσημο και την μελετάμε ξεχωριστά. Στην περίπτωση μας, την παρένθεση στην λύση του Θάνου.

Ελάχιστο

Ελάχιστο

Re: Ελάχιστο

Re: Ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση