Διαφορι-κούλα 47

mathxl · #1

Να βρείτε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R για την οποία ισχύουν

$\displaystyle{f''\left( x \right) - 8f'\left( x \right) + 20f\left( x \right) = 0,f\left( 0 \right) = 2,f'\left( 0 \right) = 12}$

και εδώ ας αφήσουμε μερικές ώρες πρώτα στους μαθητές

mathxl · #2

Υπόδειξη

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

mathxl έγραψε:Να βρείτε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R για την οποία ισχύουν

$\displaystyle{f''\left( x \right) - 8f'\left( x \right) + 20f\left( x \right) = 0,f\left( 0 \right) = 2,f'\left( 0 \right) = 12}$

και εδώ ας αφήσουμε μερικές ώρες πρώτα στους μαθητές

Βασίλη, πάω στοίχημα ότι εννοείς την

$\displaystyle{f''\left( x \right){ \color {red} +} 8f'\left( x \right) { \color {red} -} 20f\left( x \right) = 0,f\left( 0 \right) = 2,f'\left( 0 \right) = 12}$

Σωστά;

Αν όχι, ας δοκιμάσουν τα παιδιά μας και τις δύο.

Λέω να δοκιμάσουν τα παιδιά μας γιατί εμείς οι μαντράχαλοι πήραμε μάθημα Διαφορικών Εξισώσεων στο Πανεπιστήμιο, και μάθαμε γενικότερες τεχνικές γι' αυτού του τύπου τις Διαφορικές Εξισώσεις. Οπότε θα λύσουμε την παραπάνω "πολλαπλασιάζοντας κατάλληλα επί μία συνάρτηση" και άντε τώρα να εξηγήσεις "πώς σκεφτήκαμε".

Μ.

mathxl · #4

Μιχάλη σε ευχαριστώ για την παρέμβαση και ζητώ συγνώμη από τους φίλους που την προσπάθησαν. ράγματι έχω λανθασμένο πρόσημο στο 20.

Άρα οι συντελεστές είναι όπως τους έχω στην αρχή αλλά στο 20 θέλει ένα μείον

Καλό μεσημέρι
$\displaystyle{f''\left( x \right) - 8f'\left( x \right) - 20f\left( x \right) = 0,f\left( 0 \right) = 2,f'\left( 0 \right) = 12}$

Νασιούλας Αντώνης · #5

mathxl έγραψε:Μιχάλη σε ευχαριστώ για την παρέμβαση και ζητώ συγνώμη από τους φίλους που την προσπάθησαν. ράγματι έχω λανθασμένο πρόσημο στο 20.

Άρα οι συντελεστές είναι όπως τους έχω στην αρχή αλλά στο 20 θέλει ένα μείον

Καλό μεσημέρι
$\displaystyle{f''\left( x \right) - 8f'\left( x \right) - 20f\left( x \right) = 0,f\left( 0 \right) = 2,f'\left( 0 \right) = 12}$

Η αλήθεια είναι πως με παίδεψε αρκετά αλλά δεν σκέφτηκα ότι μπορεί να υπήρχε τυπογραφικό στην εκφώνηση.

Ας δώσω μια σκέψη:

$\displaystyle{f''\left( x \right) - 8f'\left( x \right) - 20f\left( x \right) = 0\Leftrightarrow f''(x)+2f'(x)=10f'(x)+20f(x)\Leftrightarrow e^{2x}f''(x)+e^{2x}2f'(x)=}$

$\displaystyle{=e^{2x}10f'(x)+e^{2x}20f(x)\Leftrightarrow \left(e^{2x}f'(x) \right)'=\left(10e^{2x}f(x) \right)'\Leftrightarrow e^{2x}f'(x)=10e^{2x}f(x)+c_1}\color{red}{(1)}$

Για x=0

η $\color{red}{(1)}$ δίνει:

$\displaystyle{12=20+c_1\Leftrightarrow c_1=-8}$

και επομένως:

$\displaystyle{e^{2x}f'(x)=10e^{2x}f(x)-8\Leftrightarrow e^{2x}f'(x)-10e^{2x}f(x)=-8 \Leftrightarrow e^{-10x}f'(x)-10e^{-10x}f(x)=-8e^{-12x}\Leftrightarrow \left( e^{-10x}f(x)\right)'=\left(\frac{2}{3}e^{-12x} \right)'\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow e^{-10x}f(x)=\frac{2}{3}e^{-12x}+c_2\color{red}{(2)}}$

Για x=0

η $\color{red}{(2)}$ δίνει:

$\displaystyle{2=\frac{2}{3}+c_2\Leftrightarrow c_2=\frac{4}{3}}$

και επειδή $e^{-10x}\neq 0, \forall x \in \mathbb{R}$ έχουμε τελικά:

$\displaystyle{\boxed{f(x)=\frac{2}{3}e^{-2x}+\frac{4}{3}e^{10x}}}$

Ελπίζω να είμαι σωστός...

Καλό απόγευμα

ΥΓ: Στην άλλη διαφορικούλα που ανέβασα πριν λίγες μέρες χρωστάω κάτι ακόμα για να είναι πλήρης. Θα το ανεβάσω αργότερα.

#6

Νασιούλας Αντώνης έγραψε: Ελπίζω να είμαι σωστός...

mathxl · #7

Πολύ ωραία Αντώνη

, ευχαριστώ.

Διαφορι-κούλα 47

Διαφορι-κούλα 47

Re: Διαφορι-κούλα 47

Re: Διαφορι-κούλα 47

Re: Διαφορι-κούλα 47

Re: Διαφορι-κούλα 47

Re: Διαφορι-κούλα 47

Re: Διαφορι-κούλα 47

Μέλη σε σύνδεση