Εξίσωση εφαπτόμενης

irakleios · #1

Έστω $f^{2}(x) = 5 - x^2$ και

παραγωγίσιμη $(-\sqrt{5},\sqrt{5})$ . Nα βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων της

που άγονται από το σημείο (3,1)

.

Edit: Έλειπε το δεδομένο . Ευχαριστώ τον Γιώργο Απόκη.

Γιώργος Απόκης · #2

Προφανώς $\displaystyle{5-x^2 \geq 0\Leftrightarrow x \in [-\sqrt{5},\sqrt{5}]}$ . H

δε μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στα άκρα του διαστήματος (εύκολα καταλήγουμε σε άτοπο παραγωγίζοντας τη δοσμένη).

Επομένως, η

είναι παραγωγίσιμη στο $(-\sqrt{5},\sqrt{5})$ .

Παραγωγίζοντας τη δοσμένη, έχουμε: $\displaystyle{2f(x)f{'}(x)=-2x\Leftrightarrow f(x)f{'}(x)=-x\Leftrightarrow f{'}(x)=\frac{-x}{f(x)}}$ (1) (Η

δεν έχει ρίζες στο $(-\sqrt{5},\sqrt{5})$ ).

Aν $\displaystyle{\Sigma(x_0,f(x_0))}$ το σημείο επαφής, τότε η εφαπτομένη έχει εξίσωση $\displaystyle{(\epsilon):y-f(x_0)=f{'}(x_0)(x-x_0)\overset{(1)}\Leftrightarrow y-f(x_0)=\frac{-x_0}{f(x_0)}(x-x_0) }$ (2)

Aφού διέρχεται από το M(3,1)

, έχουμε $\displaystyle{1-f(x_0)=\frac{-x_0}{f(x_0)}(3-x_0) \Leftrightarrow f(x_0)-\color{orange}f^2(x_0)\color{black}=-3x_0+x_0^2 \Leftrightarrow f(x_0)-\color{orange}(5-x_0^2)\color{black}=-3x_0+x_0^2 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow f(x_0)=-3x_0+5}$ (3). Αντικαθιστώντας στη δοσμένη, έχουμε: $\displaystyle{ (-3x_0+5)^2=5-x_0^2\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow x_0=1 \; \acute \eta \; x_0=2}$ (δεκτές).

Aπό τις (2),(3) τώρα προκύπτουν δύο εφαπτόμενες: $\displaystyle{(\epsilon_1):y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}$ και $\displaystyle{(\epsilon_2):y=2x-5}$ .

mathxl · #3

Η άσκηση μπορεί να λύθεί και με β λυκείου κατεύθυνση μιας και έχουμε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα την τετραγωνική ρίζα του 5

Γιώργος Απόκης · #4

Καλημέρα. Ας δώσω και τη λύση για Β' Λυκείου που ανέφερε ο mathxl.

Αν y=f(x)

, η δοσμένη γίνεται x^2+y^2=5

, δηλαδή κύκλος με κέντρο

και ακτίνα $r=\sqrt{5}$ .

Aν $\Sigma(x_1,y_1)$ το σημείο επαφής, η εφαπτομένη είναι xx_1+yy_1=5

. Αφού διέρχεται από το M(3,1)

, έχουμε

(1)

Το $\Sigma(x_1,y_1)$ είναι σημείο του κύκλου, άρα x_1^2+y_1^2=5

(2). Aπό το σύστημα των (1),(2) έχουμε: $\Sigma(1,2)$ ή $\Sigma(2,-1)$ και αντίστοιχες

εφαπτόμενες $(\epsilon_1):x+2y=5$ ή $(\epsilon_2):2x-y=5$ .

parmenides51 · #5

Πρέπει να επισημανθεί ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)}$ έχει κάθε φορά μοναδική εφαπτομένη αγομένη από το σημείο (3,1)

και όχι δύο εφαπτόμενες ανάλογα ποιον τύπο έχει,

δηλαδή αν η γραφική της παράσταση είναι το πάνω ημικύκλιο,
δηλαδή $f(x) = \sqrt{5 - x^2}, x\in [-\sqrt{5},\sqrt{5}]$ εφαπτομένη είναι η $(\epsilon_1):x+2y=5$ με σημείο επαφής το (1,2)

,

ενώ αν η γραφική της παράσταση είναι το κάτω ημικύκλιο,
δηλαδή $f(x) = -\sqrt{5 - x^2}, x\in [-\sqrt{5},\sqrt{5}]$ εφαπτομένη είναι η $(\epsilon_2):2x-y=5$ με σημείο επαφής το (2,-1)

.

Εξίσωση εφαπτόμενης

Εξίσωση εφαπτόμενης

Re: Εξίσωση εφαπτόμενης

Re: Εξίσωση εφαπτόμενης

Re: Εξίσωση εφαπτόμενης

Re: Εξίσωση εφαπτόμενης

Μέλη σε σύνδεση