Πόσες ρίζες ;

irakleios · #1

α) Πόσες ρίζες έχει η εξίσωση x^3 - x - 1 = 0

;

β) Για την κάθε ρίζα που θα βρείτε να προσδιορίσετε τον ακέραιο

ώστε η κάθε μια τους να ανήκει σε ένα διάστημα της μορφής [a , a+1]

.

Σημείωση : επειδή την έφτιαξα εγώ την άσκηση , μπορεί η διατύπωση να είναι λίγο περίεργη ,ειδικά στο

ερώτημα...

Υπόδειξη :

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Η άσκηση είναι από τις κλασικές, τις οποίες καλείται να αντιμετωπίσει κάθε μαθητής της Γ' Λυκείου.
Για το λόγο αυτό, δε παραθέτω απόδειξη με χρήση λογισμού, αλλά βάζω μία διαφορετική (και ολίγον εκτός ύλης) αντιμετώπιση.

Καταρχάς, η εξίσωση, ως πολυωνυμική περιττού βαθμού, έχει τουλάχιστον μία λύση. Θα αποδείξουμε, ότι είναι μοναδική.
Αν αυτό δεν συνέβαινε, δεδομένου ότι στις πολυωνυμικές εξισώσεις με πραγματικούς συντελεστές, οι μιγαδικές ρίζες εμφανίζονται σε ζεύγη συζυγών, η εξίσωση θα έχει τρεις πραγματικές ρίζες, έστω τις $\displaystyle{a,b,c.}$

Από τους τύπους Vieta ισχύει

$\displaystyle{a+b+c=0,ab+bc+ca=-1,abc=1.}$

Τότε, είναι $\displaystyle{(a+b+c)^2=0 \Rightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2=2.}$

Όμως, από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι $\displaystyle{2=a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3,}$ άτοπο.

Χρήστος Λαζαρίδης · #3

Μία επίπονη κλασική λύση.

α) $\displaystyle{f^/ (x) = 3x^2 - 1,x \in R}$
Η f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα $\displaystyle{( - \infty , - \frac{1}{{\sqrt 3 }}],[\frac{1}{{\sqrt 3 }}, + \infty )}$
και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{[ - \frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{{\sqrt 3 }}]}$
Τα επί μέρους σύνολα τιμών που προκύπτουν είναι:
$\displaystyle{f( - \infty , - \frac{1}{{\sqrt 3 }}] = ( - \infty ,\frac{{2 - 3\sqrt 3 }}{{3\sqrt 3 }}],f[ - \frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{{\sqrt 3 }}] = [ - \frac{{2 + 3\sqrt 3 }}{{3\sqrt 3 }},\frac{{2 - 3\sqrt 3 }}{{3\sqrt 3 }}],f[\frac{1}{{\sqrt 3 }}, + \infty ) = [\frac{{2 - 3\sqrt 3 }}{{3\sqrt 3 }}, + \infty )}$
Το 0 ανήκει μόνο στο τρίτο, άρα η συνάρτηση έχει μία μοναδική ρίζα στο $\displaystyle{[\frac{1}{{\sqrt 3 }}, + \infty )}$

β) $\displaystyle{f(1) = - 1 < 0,f(2) = 5 > 0}$ .
Από Bolzano, έχουμε ότι η μοναδικά ρίζα θα ανήκει στο $\displaystyle{(1,2)}$ , άρα $\displaystyle{\alpha = 1}$ .

Φιλικά Χρήστος

#4

Ας μην ξεχνάμε και το εξής κλασσικό κριτήριο (που έχει για παράδειγμα εφαρμοσθεί και εδώ): ένα τριτοβάθμιο πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές έχει τρεις πραγματικές ρίζες αν και μόνον αν το τοπικό του μέγιστο και το τοπικό του ελάχιστο είναι ετερόσημα.

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα η παράγωγος f'(x)=3x^2-1

του

έχει ρίζες $\frac{1}{\sqrt{3}}$ και $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ , οπότε $f(-\frac{1}{\sqrt{3}})=2-3\sqrt{3}<0$ και $f(\frac{1}{\sqrt{3}})=-2-3\sqrt{3}<0$ , συνεπώς υπάρχει μία ακριβώς πραγματική ρίζα.

Γιώργος Μπαλόγλου

irakleios · #5

Θα πώ κάτι κλασικό

: Ευχαριστώ για τις λύσεις σας !

Πόσες ρίζες ;

Πόσες ρίζες ;

Re: Πόσες ρίζες ;

Re: Πόσες ρίζες ;

Re: Πόσες ρίζες ;

Re: Πόσες ρίζες ;

Μέλη σε σύνδεση