κλασσικό Θ.Μ.Τ

caley-hamilton · #1

Δεν γνωρίζω αν την έχουμε ξαναδεί...Έχω την εντύπωση όμως ότι είναι στο σωστό φάκελο(Αν κάνω λάθος παρακαλώ πολύ διορθώστε με.)
------------------------------
Λοιπόν:
Αν $f:[0,+\infty)\to \mathbb{R}$ είναι 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση και αν f''(x)>0

για

και

,τότε η $\displaystyle{ \frac{f(x)}{x}}$ είναι αύξουσα για θετικά χ.

parmenides51 · #2

Αν χαλαρώσουμε τις συνθήκες, αρκεί να είναι κυρτή η

.

#3

Νομίζω πως μία χαρά είναι οι συνθήκες για σχολικά πλαίσια.
Στην ουσία σφίγγουμε τα δεδομένα λέγοντας το ''κυρτή'' σκέτο.

parmenides51 · #4

Μα κυρτή δεν σημαίνει υπάρχει πρώτη παράγωγος και αυτή είναι γνησίως αυξουσα στο εσωτερικό του διαστήματος;
Σχολικό μου φαίνεται.

#5

Όχι αγαπητέ μου.
Κυρτή σημαίνει κάτι άλλο που έχουμε συζητήσει αρκετές φορές εδώ.

caley-hamilton · #6

Ναι είναι καθαρά σχολική.Ας αφήσουμε πρώτα τους μαθητές να απαντήσουν και ύστερα αν θέλετε τι συζητάμε.

parmenides51 · #7

Θα το κοιτάξω τότε. (Ελπίζω να μην αναφέρεσαι στην μη αναφόρα μου στην συνεχεια σε διάστημα)

parmenides51 · #8

Μια σχετική δημοσίευση με την διαφωνία μου που δείχνει ότι δεν πέφτω και τόσο έξω.

Η παρακάτω επισήμανση δικιά μου.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

nsmavrogiannis έγραψε:Γειά σας και καλή εβδομάδα. Χρόνια πολλά στους εορτάζοντες.
Διάβασα τα προηγούμενα και αδυνατώ να καταλάβω ποιό είναι το πρόβλημα. Σε κάθε ορισμό δίνουμε ένα όνομα για κάποια μαθηματικά αντικείμενα που έχουν μία συγκεκριμένη ιδιότητα. 'Οσα έχουν την ιδιότητα φέρουν το όνομα και όσα φέρουν αυτό το όνομα έχουν την ιδιότητα. Αυτό εννοείται και δεν είναι απαραίτητο να επαναλαμβάνεται, είναι εγγενές χαρακτηριστικό του τρόπου που μιλάμε Μαθηματικά. Ούτε χρειάζεται να λέμε "αν και μόνο αν". Καλά κάνει το σχολικό βιβλίο και δεν το αναφέρει. Μπορεί τα βιβλία να έχουν άλλες αδυναμίες αλλά όχι αυτή.
Απο κει και πέρα αν συμφωνήσουμε με αυτό, και καήκαμε αν δεν συμφωνήσουμε, μπορούμε να διαφωνήσουμε μπορούμε να συζητήσουμε αν κάποιος ορισμός είναι ο ενδεδειγμένος. Αυτό είναι μία άλλη κουβέντα. Μιας όμως και το θέμα έχει ανέβει στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης ο ορισμός, μας αρέσει ή όχι, είναι αυτός του σχολικού βιβλίου σελίδα 273 που λέει ότι από τις συνεχείς συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ένα διάστημα που είναι παραγωγίσιμες στα εσωτερικά του σημεία δικαιούνται να φέρουν το όνομα κυρτή εκείνες που η ήδη υπάρχουσα παράγωγος στο εσωτερικό είναι και γνησίως αύξουσα.. Η επιλογή λοιπόν των συγγραφέων, επιτυχής ή ατυχής αυτό στην κουβέντα μας είναι αδιάφορο, είναι να αναφέρονται σε συναρτήσεις
-ορισμένες σε διάστημα
-συνεχείς σε αυτό
-παραγωγίσιμες στο εσωτερικό του
-με γνησίως αύξουσα παράγωγο στο εσωτερικό
'Οποια συνάρτηση έχει τις παραπάνω προδιαγραφές είναι κυρτή και όποια είναι κυρτή τις έχει.
Για πιο γενικούς ορισμούς (που και βέβαια υπάρχουν) ο φυσικός χώρος συζήτησης στο mathematica είναι η
-Ανάλυση των ΑΕΙ ή
-Ο Φάκελος του καθηγητή.
Η παράθεση τους εδώ, ως εάν να είναι εναλλακτικές επιλογές που στο χέρι μας είναι σε ποια θα καταλήξομε, φοβάμαι ότι μπορεί να προκαλέσει σύγχιση (σε μαθητές ή όχι πολύ πεπειραμένους συναδέλφους).
Μαυρογιάννης

#9

Νομίζω πως όταν απευθυνόμαστε σε παιδιά,πρέπει να είμαστε πολύ πιό γαλαντόμοι από το να τους λέμε σκέτα ''κυρτή''.
Κανένας από αυτούς που βάζουν θέματα δε θα έδινε ποτέ σκέτο το ''κυρτή'' στους μαθητές.
Αν διαβάσεις καλά ο Νίκος στο τέλος του μηνύματος λέει πως με όλες αυτές τις συμβάσεις στο φόρουμ προσπαθούμε να μην μπερδέψουμε τα παιδιά.
Θεωρώ πως πρέπει να προσέχουμε τι λέμε γενικότερα,αλλά και που θέτουμε τα θέματα που αποφασίζουμε να δώσουμε.
Θα γίνω κουραστικός αλλά εφ'όσον κάποιος επιθυμεί από τους μαθητές να ασχοληθούν με τις ασκήσεις του γιατί δεν τις θέτει
άμεσα στον ειδικό φάκελο;
Γιατί πρέπει να αποφασίζουν κάποιοι αν θα πρέπει να ασχοληθούν οι μαθητές ή όχι.
Και τελικά,οποτεδήποτε τέθηκε ένα θέμα εκτός του φακέλου των ασκήσεων για μαθητές,ποιός απαγόρεψε στα παιδιά να ασχοληθούν με αυτό το θέμα;
Συνεχίζω να μην καταλαβαίνω,συγχωρέστε με.
Εδώ κολλάει το ''Ή στραβός είναι ο γιαλός ή στραβά αρμενίζω''.
Καλημέρα.

mathxl · #10

Καλημέρα!

Η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ικανοποιεί τις προυποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο $\displaystyle{\left[ {0,x} \right],x > 0}$

Συνεπώς θα υπάρχει τουλάχιστο ένα $\displaystyle{\xi \in \left( {0,x} \right)}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f'\left( \xi \right) = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \frac{{f\left( x \right)}}{x}}$

Επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι κυρτή η παράγωγος της θα είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$
Έχουμε
$\displaystyle{0 < \xi < x \Rightarrow f'\left( \xi \right) < f'\left( x \right) \Rightarrow \frac{{f\left( x \right)}}{x} < f'\left( x \right) \Rightarrow xf'\left( x \right) - {\left( x \right)^\prime }f\left( x \right) > 0 \Rightarrow {\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{x}} \right)^\prime } > 0}$

απόπου έπεται το ζητούμενο.
Σχόλιο: Νομίζω πρέπει να την έχουμε ξανασυζητήσει. Επίσης είναι άσκηση που υπάρχει σχεδόν σε όλα τα βοηθήματα. Καλό είναι να ζητείται το γνήσια αύξουσα και όχι το αύξουσα.

gtk1994 · #11

Θα ήθελα να ρωτήσω αν η παρακάτω προσέγγιση( μου φαίνεται ίσως πιο βατή ) είναι σωστή...
Θεωρούμε τη συνάρτηση $h(x)=\frac{f(x)}{x}, x>0$ ,η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $\left(0,+\infty \right)$ ως πηλίκο παραγωγίσιμων
με πρώτη παράγωγο $h'(x)=\frac{f'(x)x-f(x)}{x^2}$ . Το πρόσημο της

το καθορίζει μόνο το τριώνυμο g(x)=f'(x)x-f(x)

Η $g(x)=f'(x)x-f(x) ,x \geq 0$ είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων με $g'(x)=f''(x)x> 0 \forall x> 0$
Άρα, η

είναι γν.αύξουσα στο $[0,+\infty)$
Έτσι, $x>0\Leftrightarrow g(x)>g(0)=0$
Άρα , $h'(x)>0 \forall x>0\Rightarrow$ η h είναι γν. αύξουσα στο $(0,+\infty)$

Γιώργος

#12

Κι εγώ έτσι είχα σκεφτεί,χωρίς Θ.Μ.Τ

κλασσικό Θ.Μ.Τ

κλασσικό Θ.Μ.Τ

Re: κλασσικό Θ.Μ.Τ

Re: κλασσικό Θ.Μ.Τ

Re: κλασσικό Θ.Μ.Τ

Re: κλασσικό Θ.Μ.Τ

Re: κλασσικό Θ.Μ.Τ

Re: κλασσικό Θ.Μ.Τ

Re: κλασσικό Θ.Μ.Τ

Re: κλασσικό Θ.Μ.Τ

Re: κλασσικό Θ.Μ.Τ

Re: κλασσικό Θ.Μ.Τ

Re: κλασσικό Θ.Μ.Τ

Μέλη σε σύνδεση