Διαφορικός Λογισμός 6

Γιώργος Κ77 · #1

Έστω συνάρτηση $f: R\displaystyle{\to} R$ , παραγωγίσιμη και κοίλη. Αν f(0)=1

και για κάθε $x \in R$ ισχύει :

$f(x)\leq e^{x}+ln\frac{e^{x}+1}{2}$ , τότε να αποδείξετε ότι :

1. $f(x-f'(x))\leq f(x)$ , για κάθε $x \in R$ .

2. $f(x-f'(x))\leq \frac{3}{2}x+1$ , για κάθε $x \in R$ .

#2

...καλησπέρα σου

με μιά προσπάθεια στις απαιτήσεις του Γιωργου....

1) Αν υπάρχει ${{x}_{0}}\in R$ ώστε ${f}'({{x}_{0}})=0$ θα είναι μοναδικό αφού η {f}'

γνήσια φθίνουσα οπότε θα είναι για $x<{{x}_{0}}$ η {f}'(x)>0

άρα

η

γνήσια αύξουσα στο $(-\infty ,\,\,{{x}_{0}}]$ και για $x>{{x}_{0}}$ η {f}'(x)<0

άρα η

γνήσια φθίνουσα στο $[\,{{x}_{0}},\,+\infty )$

οπότε για $x<{{x}_{0}}$ ισχύει ${f}'(x)>0\Leftrightarrow -{f}'(x)<0\Leftrightarrow x-{f}'(x)<x$ και επειδή

γνήσια αύξουσα θα ισχύει

f(x-{f}'(x))<f(x)

και για $x>{{x}_{0}}$ ισχύει ${f}'(x)<0\Leftrightarrow -{f}'(x)>0\Leftrightarrow x-{f}'(x)>x$ και επειδή

γνήσια φθίνουσα θα ισχύει f(x-{f}'(x))<f(x)

και επειδή $f({{x}_{0}}-{f}'({{x}_{0}}))=f({{x}_{0}})$

στην περίπτωση αυτή θα ισχύει για κάθε $x\in R$ $f(x-{f}'(x))\le f(x)$

Τώρα αν ${f}'(x)\ne 0$ για κάθε $x\in R$ η {f}'

θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο

(…εκτός σχολικής ύλης….)

Επειδή από υπόθεση $h(x)=f(x)-{{e}^{x}}-\ln (\frac{{{e}^{x}}+1}{2})\le 0,\,\,x\in R$ και $h(0)=f(0)-{{e}^{0}}-\ln (\frac{{{e}^{0}}+1}{2})=0$ άρα $h(x)\le h(0),\,\,x\in R$ η

θα παρουσιάζει ακρότατο στο

και από Fermat αφού είναι παραγωγίσιμη με ${h}'(x)={f}'(x)-{{e}^{x}}-\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}$ θα ισχύει ${h}'(0)={f}'(0)-{{e}^{0}}-\frac{{{e}^{0}}}{{{e}^{0}}+1}=0\Leftrightarrow {f}'(0)=\frac{3}{2}>0$

όποτε στην περίπτωση αυτή {f}'(x)>0

άρα

γνήσια αύξουσα στο

και όπως προηγούμενα δείχνουμε ότι f(x-{f}'(x))<f(x)

2) Επειδή η εφαπτομένη στο σημείο $A(0,\,1)$ της

είναι $y-1=\frac{3}{2}(x-0)\Leftrightarrow y=\frac{3}{2}x+1$ και η

κοίλη θα ισχύει $f(x)\le \frac{3}{2}x+1,\,\,x\in R$ και λόγω του (1)

θα ισχύει $f(x-{f}'(x))\le \frac{3}{2}x+1$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Γιώργος Κ77 · #3

Στο μέσο περίπου της άσκησης, ο Βασίλης έγραψε:

...τώρα αν ${f}'(x)\ne 0$ για κάθε $x\in R$ η {f}'

θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο

(…εκτός σχολικής ύλης….)...

Γιατί το συγκεκριμένο συμπέρασμα είναι εκτός ύλης;

parmenides51 · #4

Γιώργος Κ77 έγραψε:Στο μέσο περίπου της άσκησης, ο Βασίλης έγραψε:

...τώρα αν ${f}'(x)\ne 0$ για κάθε $x\in R$ η θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (…εκτός σχολικής ύλης….)...

Γιατί το συγκεκριμένο συμπέρασμα είναι εκτός ύλης;

Γιατί προυποθέτει την συνέχεια της παραγώγου της συνάρτησης, αφού η σχετική πρόταση (εντός ύλης) μας λέει πως
''συνεχής συνάρτηση που δεν μηδενίζεται σε διάστημα διατηρεί σταθερό πρόσημο''.

Γιώργος Κ77 · #5

Θεώρησα ότι το δεδομένο ''η

είναι κοίλη'' αρκούσε. Συνεπώς, για να μην υπάρχει κάποιο πρόβλημα στην άσκηση θα έπρεπε να δοθεί f''(x)<0

.

parmenides51 · #6

Υπάρχει μια σχετικότητα στο τι θεωρείται κυρτή και κοίλη, ανάλογα με ποιόν ορισμό θα χρησιμοποιήσουμε, όπως φαίνεται εδώ κι εδώ.
Καλύτερα να απαντάμε βασιζόμενοι στο σχολικό βιβλίο, όταν είμαστε στο συγκεκριμένο φάκελο.

parmenides51 · #7

Η συνθήκη

αρκεί, αν και υπάρχει και λύση (όχι 100% σχολική) για το σημείο αυτό εδώ χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Darboux .

Γιώργος Κ77 · #8

Σε ευχαριστώ πολύ parmenides51 για την ενασχόληση. Αυτό το θέμα με την ισοδυναμία ή όχι του θεωρήματος της κυρτότητας του σχολικού μου δημιουργούσε πάντα αυτή την απορία.

Διαφορικός Λογισμός 6

Διαφορικός Λογισμός 6

Re: Διαφορικός Λογισμός 6

Re: Διαφορικός Λογισμός 6

Re: Διαφορικός Λογισμός 6

Re: Διαφορικός Λογισμός 6

Re: Διαφορικός Λογισμός 6

Re: Διαφορικός Λογισμός 6

Re: Διαφορικός Λογισμός 6

Μέλη σε σύνδεση