Συνάρτηση πολυωνυμική

S.E.Louridas · #1

Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},$ 3ου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές και με τις τρείς ρίζες της πραγματικούς αριθμούς. Αποδείξτε ότι:
$2\left[ {f{'} \left( x \right)} \right]^2 \geqslant 3f\left( x \right)f{''} \left( x \right),\quad \forall x \in \mathbb{R}.$

Παρατήρηση:
Γενικώτερα έχουμε:
Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},$ n-ου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές και με τις n- ρίζες της πραγματικούς αριθμούς. Αποδείξτε ότι:
$(n-1)\left[ {f{'} \left( x \right)} \right]^2 \geqslant nf\left( x \right)f{''} \left( x \right),\quad \forall x \in \mathbb{R}.$

S.E.Louridas

#2

...Tην καλησπέρα σε όλη την παρέα και ειδικά Σωτήρη με μία ιδέα στο θέμα του...

Αν ${{\rho }_{1}},{{\rho }_{2}},{{\rho }_{3}}$ οι ρίζες του πολυωνύμου $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,\,\,a\ne 0$

προφανώς για $x={{\rho }_{1}},\,{{\rho }_{2}},{{\rho }_{3}}$ η ανισότητα ισχύει

Τώρα για $x\ne {{\rho }_{1}},{{\rho }_{2}},{{\rho }_{3}}$ είναι $f(x)=a(x-{{\rho }_{1}})(x-{{\rho }_{2}})(x-{{\rho }_{3}})$ και $f(x)\ne 0$

και αρκεί να δείξουμε ${f}''(x)f(x)\le 2{{({f}'(x))}^{2}}-2{f}''(x)f(x)$ ή $-\frac{{f}''(x)}{2f(x)}\ge \frac{{f}''(x)f(x)-{{({f}'(x))}^{2}}}{{{(f(x))}^{2}}}$

ή $-\frac{{f}''(x)}{2f(x)}\ge {{\left( \frac{{f}'(x)}{f(x)} \right)}^{\prime }}$ (1)

Είναι τώρα $\left| f(x) \right|=\left| a(x-{{\rho }_{1}})(x-{{\rho }_{2}})(x-{{\rho }_{3}}) \right|$ και

$\ln (\left| f(x) \right|)=\left| a(x-{{\rho }_{1}})(x-{{\rho }_{2}})(x-{{\rho }_{3}}) \right|=\ln \left| a \right|+\ln \left| x-{{\rho }_{1}} \right|+\ln \left| x-{{\rho }_{2}} \right|+\ln \left| x-{{\rho }_{3}} \right|$

και παραγωγίζοντας έχουμε $\frac{{f}'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-{{\rho }_{1}}}+\frac{1}{x-{{\rho }_{2}}}+\frac{1}{x-{{\rho }_{3}}}$ οπότε και

${{\left( \frac{{f}'(x)}{f(x)} \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{(x-{{\rho }_{1}})}^{2}}}-\frac{1}{{{(x-{{\rho }_{2}})}^{2}}}-\frac{1}{{{(x-{{\rho }_{3}})}^{2}}}$ (2)

Ακόμη είναι

${f}'(x)=a(x-{{\rho }_{2}})(x-{{\rho }_{3}})+a(x-{{\rho }_{1}})(x-{{\rho }_{3}})+a(x-{{\rho }_{1}})(x-{{\rho }_{2}})$ και

${f}''(x)=2a(x-{{\rho }_{1}})+2a(x-{{\rho }_{2}})+2a(x-{{\rho }_{3}})$ (3)

Οπότε προκύπτει $-\frac{{f}''(x)}{2f(x)}=-\frac{1}{(x-{{\rho }_{1}})(x-{{\rho }_{2}})}-\frac{1}{(x-{{\rho }_{2}})(x-{{\rho }_{3}})}-\frac{1}{(x-{{\rho }_{1}})(x-{{\rho }_{3}})}$ επόμένως από (1) αρκεί να ισχύει

$-\frac{1}{(x-{{\rho }_{1}})(x-{{\rho }_{2}})}-\frac{1}{(x-{{\rho }_{2}})(x-{{\rho }_{3}})}-\frac{1}{(x-{{\rho }_{1}})(x-{{\rho }_{3}})}\ge$

$\ge -\frac{1}{{{(x-{{\rho }_{1}})}^{2}}}-\frac{1}{{{(x-{{\rho }_{2}})}^{2}}}-\frac{1}{{{(x-{{\rho }_{3}})}^{2}}}$ ή

$\frac{1}{(x-{{\rho }_{1}})(x-{{\rho }_{2}})}+\frac{1}{(x-{{\rho }_{2}})(x-{{\rho }_{3}})}+\frac{1}{(x-{{\rho }_{1}})(x-{{\rho }_{3}})}\le$

$\le \frac{1}{{{(x-{{\rho }_{1}})}^{2}}}+\frac{1}{{{(x-{{\rho }_{2}})}^{2}}}+\frac{1}{{{(x-{{\rho }_{3}})}^{2}}}$ που ισχύει αφού ως γνωστόν

${{a}^{2}}+{{\beta }^{2}}+{{\gamma }^{2}}\ge \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ,\,\,\,\,\,\alpha ,\beta ,\gamma \in R$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Συνάρτηση πολυωνυμική

Συνάρτηση πολυωνυμική

Re: Συνάρτηση πολυωνυμική

Μέλη σε σύνδεση