Μήπως λείπει στοιχειο από την υπόθεση;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Παραθέτω μια άσκηση από τον δικτυακό τόπο http://www.e-kimolia.gr για την οποία έχω την αίσθηση ότι λείπει κάποιο στοιχείο από την υπόθεση για να λυθεί.

Ασκηση
Αν f, g συνεχείς συναρτήσεις στο $\displaystyle{ [1, + \infty ) }$ , παραγωγίσιμες για κάθε $\displaystyle{ x \in (1, + \infty ) }$ και ισχύει $\displaystyle{ xf'(x) - f(x) - x^2 g'(x) > 0 }$ , να αποδειχθεί ότι f(x)> xg(x) για κάθε x>1.

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Παραθέτω μια άσκηση από τον δικτυακό τόπο http://www.e-kimolia.gr για την οποία έχω την αίσθηση ότι λείπει κάποιο στοιχείο από την υπόθεση για να λυθεί.

Ασκηση
Αν f, g συνεχείς συναρτήσεις στο $\displaystyle{ [1, + \infty ) }$ , παραγωγίσιμες για κάθε $\displaystyle{ x \in (1, + \infty ) }$ και ισχύει $\displaystyle{ xf'(x) - f(x) - x^2 g'(x) > 0 }$ , να αποδειχθεί ότι f(x)> xg(x) για κάθε x>1.

να συμπληρώσουμε f(1)=g(1)

#3

Από τά δεδομένα προκύπτει ότι γιά τήν συνάρτηση $h(x):=\dfrac{f(x)}{x}-g(x)$ ισχύουν h'(x)>0

γιά κάθε $x\in({1,+\infty})$ . Επομένως η

είναι γνησίως αύξουσα στό $[{1,+\infty})$ .
ΔΕΝ βλέπω νά προκύπτει από πουθενά ότι $h(1)\geq 0$ . Επομένως νομίζω ότι πρέπει νά δωθεί, επιπλέον, ότι $f(1)\geq g(1)$ .

edit [12:50]: Έγραφα τήν απάντησή μου καθώς έδινε η Φωτεινή τήν - κατ' ουσίαν ίδια - απάντησή της. Δέν διαγράφω τήν απάντησή μου μιάς καί δέν είναι τόσο Λακωνική όσο τής Φωτεινής.

Μήπως λείπει στοιχειο από την υπόθεση;

Μήπως λείπει στοιχειο από την υπόθεση;

Re: Μήπως λείπει στοιχειο από την υπόθεση;

Re: Μήπως λείπει στοιχειο από την υπόθεση;

Μέλη σε σύνδεση