Ευρεση του τύπου της f

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Καλημέρα, μια άσκηση από σχολικό συμβουλο

Ασκηση
Έστω συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν f(0)=1, f' (0)=0 και για κάθε $\displaystyle{ x \in R }$ ισχύει $\displaystyle{ \left[ {f'(x)} \right]^2 + f(x)f''(x) = 6x^2 + 2 }$ .Να βρεθεί ο τύπος της f.

Σχόλιο. με αυτή την διατύπωση κατέληξα σε αδιέξοδο f(x)^2= $\displaystyle{ 4x^3 + 4x + 1 }$ (περίμενα η f^2 άρα και f να μην εχει ρίζα).Αν αντί $\displaystyle{ 6x^2 + 2 }$ βάλουμε 6χ+2 είναι εντάξει.Θέλει πράγματι τροποποίηση ή κάνω λάθος; Μάλιστα η υπόθεση f'(0)=0 δεν μου χρειάστηκε.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #2

Στράτο εγώ βρίσκω την f(x) = x^2 + 1 η οποία επαληθεύει ...

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Έχουμε διαδοχικά,
$\displaystyle{\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2 + f\left( x \right)f''\left( x \right) = 6x^2 + 2}$ άρα $\displaystyle{ \left( {f\left( x \right)f'\left( x \right)} \right)' = \left( {2x^3 + 2x} \right)' }$
οπότε $\displaystyle{ f\left( x \right)f'\left( x \right) = 2x^3 + 2x + c }$ για χ=0 από τις δεδομένες αρχικές συνθήκες βρίσκουμε τελικά $\displaystyle{ c = 0 }$
Επομένως, $\displaystyle{ f\left( x \right)f'\left( x \right) = 2x^3 + 2x }$
ή $\displaystyle{ \frac{1}{2}[f\left( x \right)^2 ]' = \left( {\frac{1}{2}x^4 + x^2 } \right)' }$
ή $\displaystyle{ \frac{1}{2}f\left( x \right)^2 = \frac{1}{2}x^4 + x^2 + c_1 }$
και πάλι για χ=0 βρίσκουμε $\displaystyle{ c_1 = \frac{1}{2} }$
άρα $\displaystyle{ f\left( x \right)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 }$
ή $\displaystyle{ f\left( x \right)^2 = \left( {x^2 + 1} \right)^2 }$
επομένως $\displaystyle{ f\left( x \right) = x^2 + 1,\,\,f\left( 0 \right) = 1 > 0 }$

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Το f '(0)=0 το χρησιμοποιούμε Στράτο στην πρώτη αντικατάσταση για να βρούμε το c=0

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #5

Λάθος δικό μου. ευχαριστώ πολύ για τις διευκρινίσεις και για τη λύση

Ευρεση του τύπου της f

Ευρεση του τύπου της f

Re: Ευρεση του τύπου της f

Re: Ευρεση του τύπου της f

Re: Ευρεση του τύπου της f

Re: Ευρεση του τύπου της f

Μέλη σε σύνδεση