Άσκηση

konkyr · #1

Θεωρούμε τη συνάρτηση f:R->R ,με τύπο $f(x)=\sqrt{2(1-cos(2sinx)}$ .

Να εξετάσετε αν είναι ή όχι παραγωγίσιμη για χ=0.

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Δεν υπάρχει η παράγωγος της f στο χ=0 γιατί από τον ορισμό του λόγου μεταβολής έχουμε:
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sqrt {1 - \sigma \upsilon \nu \left( {2\eta \mu \chi } \right)} }}{\chi } = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| {\eta \mu \left( {2\eta \mu \chi } \right)} \right|}}{\chi } \cdot \frac{2}{{\sqrt {1 + \sigma \upsilon \nu \left( {2\eta \mu \chi } \right)} }}}$

δηλαδή $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| {2\eta \mu \left( {\eta \mu \chi } \right)\sigma \upsilon \nu \left( {\eta \mu \chi } \right)} \right|}}{\chi } \cdot \frac{2}{{\sqrt {1 + \sigma \upsilon \nu \left( {2\eta \mu \chi } \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| {\eta \mu \left( {\eta \mu \chi } \right)} \right|}}{\chi } \cdot \frac{{4\sigma \upsilon \nu \left( {\eta \mu \chi } \right)}}{{\sqrt {1 + \sigma \upsilon \nu \left( {2\eta \mu \chi } \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\left| {\eta \mu \left( {\eta \mu \chi } \right)} \right|}}{{\eta \mu \chi }}}}{{\frac{1}{{\frac{{\eta \mu \left( \chi \right)}}{\chi }}}}} \cdot \frac{{4\sigma \upsilon \nu \left( {\eta \mu \chi } \right)}}{{\sqrt {1 + \sigma \upsilon \nu \left( {2\eta \mu \chi } \right)} }}}$

οπότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = 2}$
και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = - 2}$

Υ.Γ: Το συν(ημχ) >0 και το όριο του ημ(ημχ)/ημχ -> 1 όταν το χ->0 (από θέτουμε ή από Hospitality!!) ενώ το ημ(ημχ) δεν έχει σταθερό πρόσημο εκατέρωθεν του μηδέν

Στέλιος Μαρίνης · #3

Ο άνθρωπος είναι σαν το κλάσμα, ο αριθμητής είναι αυτός που είναι στην πραγματικότητα , ενώ ο παρονομαστής αυτό που πιστεύει για τον εαυτό του. Όσο μεγαλύτερος ο παρονομαστής τόσο μικρότερο και το κλάσμα.

Πάντα πίστευα ότι οι καταχρήσεις δεν είναι και τόσο κακές.

papel · #4

Στέλιος Μαρίνης έγραψε:Ο άνθρωπος είναι σαν το κλάσμα, ο αριθμητής είναι αυτός που είναι στην πραγματικότητα , ενώ ο παρονομαστής αυτό που πιστεύει για τον εαυτό του. Όσο μεγαλύτερος ο παρονομαστής τόσο μικρότερο και το κλάσμα.

Φοβαμαι οτι στην περιπτωση μου το κλασμα θα ηταν μηδενικο.

#5

konkyr έγραψε:Θεωρούμε τη συνάρτηση f:R->R ,με τύπο $f(x)=\sqrt{2(1-cos(2sinx)}$ .

Να εξετάσετε αν είναι ή όχι παραγωγίσιμη για χ=0.

Μετά την ωραία λύση του Μάκη, ας προσθέσω ότι η αιτία του φαινομένου ερμηνεύεται από το γεγονός ότι η σειρά Taylor της 2(1-cos(2sinx))

είναι $4x^2 - \frac{8}{3}x^4 + ...$
Άρα η τετραγωνική της ρίζα κοντά στο 0 είναι 2|x| + ...

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Στέλιος Μαρίνης · #6

papel έγραψε:
Στέλιος Μαρίνης έγραψε:Ο άνθρωπος είναι σαν το κλάσμα, ο αριθμητής είναι αυτός που είναι στην πραγματικότητα , ενώ ο παρονομαστής αυτό που πιστεύει για τον εαυτό του. Όσο μεγαλύτερος ο παρονομαστής τόσο μικρότερο και το κλάσμα.
Φοβαμαι οτι στην περιπτωση μου το κλασμα θα ηταν μηδενικο.

Το δικό μου πάλι είναι καταχρηστικό

#7

Στέλιος Μαρίνης έγραψε: Το δικό μου πάλι είναι καταχρηστικό

Στέλιο, πολύ γέλασα με το "καταχρηστικό". Κανένα πρόβλημα.

Δυστυχώς όμως στην κοινωνία μας υπάρχουν και τα "ανάγωγα", που με προβληματίζει...

Μ.

Ιστοσελίδα · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: Μετά την ωραία λύση του Μάκη, ας προσθέσω ότι η αιτία του φαινομένου ερμηνεύεται από το γεγονός ότι η σειρά Taylor της είναι $4x^2 - \frac{8}{3}x^4 + ...$
Άρα η τετραγωνική της ρίζα κοντά στο 0 είναι 2|x| + ...

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Πολύ ωραία προσέγγιση! Ισχύει κάποιο θεώρημα σχετικό ή απλά είναι διαισθητικό αυτό; Ισχύει και για προσέγγιση με άλλες οικογένειες συναρτήσεων ή μόνο για τα αναπτύγματα taylor;

konkyr · #9

Μάκη πολύ ωραία η λύση σου .Σε ευχαριστώ!

Ευχαριστώ πολύ και εσας κύριε Λάμπρου για τις επιπλέον πληροφορίες σας....

Μάκης Χατζόπουλος · #10

Κωνσταντίνα είχα κέφι και γι αυτό έδωσα δύο σχόλια παραπάνω!!

Χαίρομαι που υπογραφή μου έδωσε τροφή για κουβέντα!

Υ.Γ: Στέλιο θέλω ηχογραφημένη την παρουσίαση σου από το συνέδριο, ήταν πολύ ζωντανή και με γέλιο, έχασες Μιχάλη που δεν την παρακουλήθησες!!

#11

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: Στέλιο θέλω ηχογραφημένη την παρουσίαση σου από το συνέδριο, ήταν πολύ ζωντανή και με γέλιο, έχασες Μιχάλη που δεν την παρακουλήθησες!!

Στέλιο, και 'γω τη θέλω!

Μάκη, άκουσα περί αυτής και απο αλλού, οπότε ανυπομονώ να πάρω ηχογραφημένο αντίτυπο.

Φιλικά,

Μιχάλης

Στέλιος Μαρίνης · #12

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Υ.Γ: Στέλιο θέλω ηχογραφημένη την παρουσίαση σου από το συνέδριο, ήταν πολύ ζωντανή και με γέλιο, έχασες Μιχάλη που δεν την παρακουλήθησες!!

Πού να την βρω ρε παιδιά; Να την ξανακάνω σε καμιά ταβέρνα; χαχαχαχα

Μάκης Χατζόπουλος · #13

Δεν υπήρχαν κάμερες να καλύψουν το γεγονός;; Άσε τις ταβέρνες γιατί σε βλέπω Στέλιο αντί για παρουσίαση να τραγουδάς again!

Άσκηση

Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Μέλη σε σύνδεση