κυρτές και αύξουσες συναρτήσεις

[manos1992]

Ισχύει η παρακάτω πρόταση;;
αν δυο συνρτήσεις f,g είναι ορισμένες, δυο φορές παραγωγίσιμες , αυστηρά κυρτές και γνησίως αύξουσες στο R, τότε έχουν δυο το πολύ κοινά σημεία..αν ισχύει μπορείτε να με βοηθήσετε με κάποια απόδειξη;;

[chris_gatos]

Θεώρησε πως έχουν τρία σημεία, με τετμημένες α, β, γ αντίστοιχα.Κάνε Rolle στα [α,β, [β,γ].
Θα πάρεις πως f'(ξ1)=0 και f'(ξ2)=0 με ξ1 στο (α,β), ξ2 στο (β,γ). Άτοπο αφού η f μας λένε πως είναι αυστηρά κυρτή.(Αρα f' γνησίως αύξουσα)

[manos1992]

Κύριε Xρήστο δεν καταλαβαίνω το άτοπο... αφού δεν ξέρουμε το πρόσημο της f''-g'' ούτε της f'-g'...

[skywalker13]

Θεώρησε πως έχουν τρία σημεία, με τετμημένες α, β, γ αντίστοιχα.Κάνε Rolle στα [α,β, [β,γ].
Θα πάρεις πως f'(ξ1)=0 και f'(ξ2)=0 με ξ1 στο (α,β), ξ2 στο (β,γ). Άτοπο αφού η f μας λένε πως είναι αυστηρά κυρτή.(Αρα f' γνησίως αύξουσα)

Γιατι ισχυει το Rolle μονο για την f? Δεν πρεπει να θεσουμε νέα συναρτηση h(x)=f(x)-g(x)?
Εγώ παντως δεν εχω βρει κατι ατοπο.

[sorfan]

Το ότι είναι γνησίως αύξουσες οι συναρτήσεις χρειάζεται;



Σπύρος

[chris_gatos]

Δεν είναι τίποτα θα μου περάσει!! Γράψτε λάθος!
Απλά όσα έγραψα τα εννοούσα για τη διαφορά των δύο συναρτήσεων. Δηλαδή f : η διαφορά των δύο συναρτήσεων.

[manos1992]

ναι χρειάζεται..διότι οι και η έχουν 3 τα -1,0,1...

[sorfan]

Έχεις δικιο, χρειάζεται. Με Rolle και ξανά Rolle πάλι δεν καταλήγω σε άτοπο.






Σπύρος

[manos1992]

Αυτός είναι κι εμένα ο πρόβληματισμός μου γιατί διαισθητικά και σχηματικά λογικό φαίνεται αλλά δεν εχω βρει κάτι που να με πείθει ότι εχω δικιο..και όντως τα Rolle δεν πολυβοηθούν..

[chris_gatos]

Κοίτα , για να εξιλεωθώ απο την προηγούμενη πατάτα προσπάθησα εν μέσω φορμαλισμού, ιντουισιονισμού, λογικισμού να φτιάξω ένα αντιπαράδειγμα.

Για κοίτα το, ελπίζω να μην έχω ξανακάνει πατάτα.Έχουν τρία σημεία τομής ή ονειρεύομαι;;

[manos1992]

εν μέσω φορμαλισμού, ιντουισιονισμού, λογικισμού

Χωρίς να είμαι σίγουρος για τις πράξεις που έκανα η f δεν μου βγαίνει κυρτή...(αν και είναι βράδυ και μπορεί να λέω ότι να ναι)..

[chris_gatos]

Για να δούμε:


Είναι :


για κάθε χ πραγματικό.
Αρα f''(x)>0, για κάθε χ πραγματικό.
Δες κι εσύ.

[manos1992]

έχετε δικιο..είχα βγάλει ένα πρόσημο - από το πουθενά...άρα τελικά δεν ισχύει η πρόταση...ευχαριστώ για τη βοήθεια!

[chris_gatos]

Να'σαι καλά κι εσύ Μάνο και σ'ευχαριστώ για την κουβέντα. Καλό σου βράδυ!!

[Ανδρέας Πούλος]

Αγαπητέ Χρήστο,
το αντιπαράδειγμά σου είναι εξαιρετικά απλό και ευφυές στην επίσης ενδιαφέρουσα συζήτηση που άνοιξε ο Μάνος για τα όρια διαίσθησης και εποπτίας στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων.
Μου δίνετε το δικαίωμα να το προτείνω και να το προβάλλω σε μία μελλοντική ηλεκτρονική έκδοση του βιβλίου μου "Εικασίες και αντιπαραδείγματα";
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[Κοτρώνης Αναστάσιος]

Δείτε και εδώ.

[chris_gatos]

Καλημέρα!
Φυσικά και μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε, όπου το επιθυμείτε!
Δοθείσης της ευκαιρίας, να πω πως το βιβλίο σας είναι εξαιρετικό απο όλες τις απόψεις.
Εξαιρετική και η κουβέντα που παραπέμπει ο Αναστάσης, την οποία και αγνοούσα.
Το βράδυ εκείνο που συζητήσαμε το θέμα, ήμουν υπερβολικά ζαλισμένος αλλά...πρόθυμος για μαθηματική δράση.
Να'στε καλά!

[Ανδρέας Πούλος]

Χρήστο
σε ευχαριστώ πολύ.
Όσο για το βιβλίο μου, αρχίζω να συγκεντρώνω τα λάθη τις ασάφειες, τις παραλείψεις κλπ., ώστε να τις καταθέσω όλες στην προσωπική ιστοσελίδα μου (την ετοιμάζω) για να είμαι εντάξει με τους συναδέλφους και τους άλλους αναγνώστες. Με την ευκαιρία, ότι λάθος, ασάφεις κλπ. εντοπίζεις, όπως και άλλοι συνέδελφοι που θα διαβάσουν αυτό το κείμενο θα είμαι υπόχρεος αν μου τα επισημάνετε.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[chris_gatos]

Εγώ σας ευχαριστώ πολύ.