ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

G.Tsikaloudakis · #1

Έσω 0<α<β και συναρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε:
$\displaystyle{f(\alpha + \beta - x) \cdot f^2 (x) = x^3 }$ ,
για κάθε $\displaystyle{x \in [\alpha ,\beta ]}$ .

1. Αν η f είναι 1-1 να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{x_o \in (\alpha ,\beta )}$ ,
τέτοιο ώστε: $\displaystyle{f(x_o ) = x_o }$ .
2. Για το παραπάνω $\displaystyle{x_o }$ ισχύει $\displaystyle{f'(x_o ) = 3}$ .
3. Αν $\displaystyle{f''(x) > 0,{\rm{ x}} \in {\rm{[}}\alpha ,\beta {\rm{]}}}$ ,
να δείξετε ότι :
$\displaystyle{f^2 \alpha ) + f^2 (\beta ) > \alpha ^2 + \beta ^2 }$

Dimitris X · #2

Όμορφο το 3ο....
Για τα 2α δύο $x=\frac{a+b}{2}.$ ...(παρεπιπτώντος δεν ξέρω που βοηθάει το '1-1'...ίσως δεν βλέπω κάτι).
Για το 3ο.
Αφού $f{''}(x)>0 \Longrightarrow f{'}(x)$ γνησίως αύξουσα.
Από πίνακα μονοτονίας παίρνουμε ότι το min της f είναι το $\frac{a+b}{2}>0.$ Άρα $f(x)>0,\forall x\in [a,b]$
Στη σχέση μας για x=a

και

έχουμε $f(b)f^{2}(a)=a^3$ και $f(a)f^{2}(b)=b^3$ αντίστοιχα.
Πολλαπλάσιάζοντας κατά μέλη παίρνουμε f(a)f(b)=ab.

Άρα το
$f^2(a)+f^2(b) >a^2+b^2 \Longleftrightarrow (f(a)+f(b))^2-2f(a)f(b)>(a+b)^2-2ab \Longleftrightarrow (f(a)+f(b))^2>(a+b)^2 \Longleftrightarrow f(a)+f(b)>a+b,$
που ισχύει γιατί το min της f είναι το $\frac{a+b}{2}.$
Άρα $f(a)>\frac{a+b}{2},f(b)>\frac{a+b}{2}$ προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε το ζητούμενο.....

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Re: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Μέλη σε σύνδεση