Όριο

mathxl · #1

Έχω μία λύση για ένα άλυτο όριο (από εκεί που το πήρα) από Gabriel Dospinescu

Αν $f:R \to \left( {0, + \infty } \right)$ συνεχής ώστε να ισχύει $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_0^x {f\left( t \right)dt = + \infty }$ , να δείξετε ότι $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x}\int\limits_0^x {\left( {x - t} \right)f\left( t \right)dt = + \infty }$

#2

mathxl έγραψε:Έχω μία λύση για ένα άλυτο όριο (από εκεί που το πήρα) από Gabriel Dospinescu

Αν $f:R \to \left( {0, + \infty } \right)$ συνεχής ώστε να ισχύει $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_0^x {f\left( t \right)dt = + \infty }$ , να δείξετε ότι $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x}\int\limits_0^x {\left( {x - t} \right)f\left( t \right)dt = + \infty }$

Από την ισχυρή μορφή του $\color{blue}De\,\, l'\,\,Hospital$ , έχουμε ότι
$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x}\int\limits_0^x {\left( {x - t} \right)f\left( t \right)dt =\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle x\int_{0}^{x}f(t)\,dt-\int_{0}^{x}tf(t)\,dt}{x}}=\\ \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,dt}{1}=+\infty$

#3

mathxl έγραψε:Έχω μία λύση για ένα άλυτο όριο (από εκεί που το πήρα) από Gabriel Dospinescu

Αν $f:R \to \left( {0, + \infty } \right)$ συνεχής ώστε να ισχύει $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_0^x {f\left( t \right)dt = + \infty }$ , να δείξετε ότι $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x}\int\limits_0^x {\left( {x - t} \right)f\left( t \right)dt = + \infty }$

Μετά την λύση του Αναστάση, ας βάλω άλλη μία. Όχι τόσο για την λύση αλλά για τα σχόλια:

Θέτουμε $F(x) = \int_0^x f(t)dt$ . Είναι f(x) > 0 και, εξ υποθέσεως, η F αυξάνει προς το $+\infty$ .

Τώρα, εδώ είναι το μυστικό (βλέπε (*)) ισχύει $\int_0^xF(t)dt = \int\limits_0^x {\left( {x - t} \right)f\left( t \right)dt$ . Δηλαδή το ζητούμενο όριο είναι το

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{\int_0^xF(t)dt}{x}}$

που με l' Hospital τείνει στο άπειρο (**).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Σχόλια: Η (*) αποδεικνύεται με παραγώγιση (την έχω στο βιβλίο μου "Επαναληπτικά ...". Αλλά η πραγματική της έννοια είναι ότι πρόκειται για εναλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης του διπλού ολοκληρώματος που προκύπτει. Φυσικά το τελευταίο δεν είναι ανάγκη να το πούμε στον μαθητή, για να μην τον τρομάξουμε.

Για την (**) μπορούμε να αποφύγουμε τον l' Hospital λέγοντας ότι για οποιοδήποτε M υπάρχει a που από κει κει πέρα ισχύει $F(x) \ge M$ , άρα $\frac{F(x) \int_0^x F(t)dt}{x} \ge \frac{M(x-a)}{x} \rightarrow M$ και λοιπά.

mathxl · #4

Καλημέρα και ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας. Όταν είδα την άσκηση την έλυσα άτυπα όπως ο Τάσος. Για να την λύσω αρκετά σχολικά χρειάστηκα μια σχολική άσκηση από τις γενικές του τελευταίου κεφαλαίου (βλέπω ότι παρόμοια με αυτή του Μιχάλη)

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση