Επαναληπτική (Ανάλυση)

#1

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[ {0, + \infty } \right) \to R}$ παραγωγίσιμη στο διάστημα $\displaystyle{ \left[ {0, + \infty } \right)}$ για την οποία ισχύει: $\displaystyle{2f\left( x \right) + f^2 \left( x \right) = 2\int\limits_0^x {e^{ - f\left( t \right)} dt} }$ και $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 0}$
i) Να δείξετε ότι $\displaystyle{1 + f\left( x \right) \ne 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {0, + \infty } \right) }$

ii) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και ότι $\displaystyle{f\left( x \right) > 0}$ για κάθε $\displaystyle{ x \in \left( {0, + \infty } \right)}$

iii) Να δείξετε ότι $\displaystyle{f\left( x \right) \cdot e^{f\left( x \right)} = x}$ για κάθε $\displaystyle{ x \in \left[ {0, + \infty } \right)}$

iv) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\ln x \le x - 1 \le x}$ και ότι $\displaystyle{2f\left( x \right) > \ln x}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right)}$

v) Να βρείτε το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)}$ καθώς και το σύνολο τιμών της f

vi) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle{\psi = x}$ είναι εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο $\displaystyle{O\left( {0,0} \right)}$

vii) Να δείξετε ότι η f είναι κοίλη και επιπλέον ότι $\displaystyle{f\left( x \right) \le x}$ για κάθε $\displaystyle{ x \in \left[ {0, + \infty } \right)}$

viii) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμο και να ορίσετε την $\displaystyle{f^{ - 1} }$

ix) Να υπολογίσετε τα: $\displaystyle{f\left( e \right),\;f\left( {e^{e + 1} } \right)}$

x) Να βρείτε την τιμή του αθροίσματος $\displaystyle{\int\limits_0^e {f\left( t \right)dt} + \int\limits_0^1 {f^{ - 1} \left( t \right)dt} }$

xi) Να υπολογίσετε το εμβαδόν $\displaystyle{E\left( \lambda \right)}$ του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης f, την εφαπτόμενή της στο $\displaystyle{O\left( {0,0} \right)}$ και την ευθεία με εξίσωση $\displaystyle{ x = \lambda \cdot e^\lambda }$ με $\displaystyle{\lambda > 0}$

xii) Να βρείτε το : $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{\lambda \to + \infty } {\rm E}\left( \lambda \right) }$

#2

....Αν και πολλά τα ερωτήματα όλα έχουν ενδιαφέρον... ξεκιναμε και όσα αντέξουμε γιά απόψε...

ι) Έστω ότι υπάρχει ${{x}_{0}}\in [0,\,\,+\infty )$ ώστε $1+f({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow f({{x}_{0}})=-1$ τότε στην δοθείσα για $x={{x}_{0}}$ προκύπτει

$2f({{x}_{0}})+{{f}^{2}}({{x}_{0}})=2\int\limits_{0}^{{{x}_{0}}}{{{e}^{-f(t)}}dt}\Leftrightarrow -1=2\int\limits_{0}^{{{x}_{0}}}{{{e}^{-f(t)}}dt}$ που είναι άτοπο γιατί $2\int\limits_{0}^{{{x}_{0}}}{{{e}^{-f(t)}}dt}\ge 0$ αφού ${{x}_{0}}\ge 0$ και ${{e}^{-f(t)}}>0$

ιι) Παραγωγίζοντας την ισότητα έχουμε $2{f}'(x)+2f(x){f}'(x)=2{{e}^{-f(x)}}$ απ όπου ισοδύναμα ${f}'(x)(1+f(x))={{e}^{-f(x)}}\Leftrightarrow {f}'(x)=\frac{{{e}^{-f(x)}}}{1+f(x)}$ (1)

λόγω του (ι) επειδή η 1+f(x)

συνεχής στο $[0,\,\,+\infty )$ θα έχει σταθερό πρόσημο και αφού για

x=0

είναι

θα ισχύει $1+f(x)>0,\,\,x\in [0,\,\,+\infty )$ άρα από (1) {f}'(x)>0

που σημαίνει ότι

γνήσια αύξουσα στο $[0,\,\,+\infty )$

και αφού f(0)=0

ισχύει $f(x)>0,\,\,\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$

ιιι) Από ${f}'(x)=\frac{{{e}^{-f(x)}}}{1+f(x)}$ έχουμε ισοδύναμα ${f}'(x){{e}^{f(x)}}+{{e}^{f(x)}}f(x){f}'(x)=1$ απ όπου $(f(x){{e}^{f(x)}}{)}'={x}'$ για $\,\,x\in [0,\,\,+\infty )$ οπότε είναι

$f(x){{e}^{f(x)}}=x+c$ και αφού f(0)=0

το

άρα $f(x){{e}^{f(x)}}=x$

ιv) Προφανώς ισχύει $x-1<x,\,\,\,x\in [0,\,\,+\infty )$ και επειδή η $g(x)=\ln x$ είναι κοίλη στο $(0,\,\,+\infty )$ και έχει εφαπτομένη στο σημείο $(1,\,\,0)$ την y=x-1

θα ισχύει $\ln x\le x-1,\,\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$ άρα $\ln x\le x-1<x,\,\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$ και αφού $f(x)>0,\,\,\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$

θα είναι $\ln f(x)\le f(x)-1<f(x),\,\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$ και επειδή $\ln (f(x){{e}^{f(x)}})=\ln x\Leftrightarrow \ln (f(x))+f(x)=\ln x\Leftrightarrow \ln (f(x))=\ln x-f(x)$

θα ισχύει $\ln x-f(x)<f(x)\Leftrightarrow \ln x<2f(x),\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$

v) Επειδή $\ln x<2f(x),\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$ θα είναι $0<\frac{1}{f(x)}<\frac{2}{\ln x}$ για x>1

και αφού $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{\ln x}=0$ από κριτήριο παρεμβολής $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)}=0$

άρα $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$ και αφού είναι συνεχής στο $[0,\,\,+\infty )$ και γνήσια αύξουσα το σύνολο τιμών της είναι $[f(0),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x))=[0,\,\,+\infty )$

vi) Από ${f}'(x)=\frac{{{e}^{-f(x)}}}{1+f(x)}$ έχουμε ${f}'(0)=\frac{{{e}^{-f(0)}}}{1+f(0)}=1$ οπότε η εφαπτομένη στο $O(0,\,0)$ είναι η y=x

vii) Επειδή για $0<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ ισχύουν $0<f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})\Leftrightarrow 1<1+f({{x}_{1}})<1+f({{x}_{2}})$ (αφού

γνήσια αύξουσα )

άρα και $\frac{1}{1+f({{x}_{1}})}>\frac{1}{1+f({{x}_{2}})}>0$ (2)

Και $-f({{x}_{1}})>-f({{x}_{2}})\Leftrightarrow {{e}^{-f({{x}_{1}})}}>{{e}^{-f({{x}_{2}})}}>0$ (3)

Από (2), (3) προκύπτει $\frac{{{e}^{-f({{x}_{1}})}}}{1+f({{x}_{1}})}>\frac{{{e}^{-f({{x}_{2}})}}}{1+f({{x}_{2}})}\Leftrightarrow {f}'({{x}_{1}})>{f}'({{x}_{2}})$ δηλαδή {f}'

γνήσια φθίνουσα στο $(0,\,\,+\infty )$ οπότε

κοίλη στο $[0,\,\,+\infty )$

άρα και κάτω από κάθε εφαπτομένη της στο διάστημα αυτό, έτσι θα ισχύει $f(x)\le x,\,\,\,x\in [0,\,\,+\infty )$

viii) Επειδή

γνήσια αύξουσα στο $[0,\,\,+\infty )$ άρα και '1-1'

αντιστρέφεται με πεδίο ορισμού της αντίστροφης ${{f}^{-1}}$ το $[0,\,\,+\infty )$ σύνολο τιμών της

οπότε στην $f(x){{e}^{f(x)}}=x$ για

την ${{f}^{-1}}(x)$ προκύπτει $f({{f}^{-1}}(x)){{e}^{f({{f}^{-1}}(x))}}={{f}^{-1}}(x)\Leftrightarrow x{{e}^{x}}={{f}^{-1}}(x)$ δηλαδή ${{f}^{-1}}(x)=x{{e}^{x}},\,\,x\in [0,\,\,+\infty )$

ix) Αφού ${{f}^{-1}}(1)=e\Leftrightarrow f(e)=1$ και ${{f}^{-1}}(e)=e{{e}^{e}}={{e}^{e+1}}\Leftrightarrow f({{e}^{e+1}})=e$

x) Λόγω συμμετρίας των

και ${{f}^{-1}}$ ως προς την y=x

και του

με

και της

με την

το εμβαδό μεταξύ των ${{C}_{f}},\,\,{x}'x,\,\,x=e$ είναι ίσο

με το εμβαδό μεταξύ των ${{C}_{{{f}^{-1}}}},\,\,{y}'y,\,\,y=e$ είναι ίσο με το εμβαδό άρα $\int\limits_{0}^{e}{f(t)dt=\int\limits_{0}^{1}{(e-{{f}^{-1}}(t))dt}}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{e}{f(t)dt+}\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt=e}$

(...με σχήμα φαίνεται καλύτερα.. αλά δεν τα έχω καταφέρει ακόμη με latex...)

Αυτά για απόψε...
Φιλικά και Μαθηματικά Βασίλης

BAGGP93 · #3

Που μπορώ να ελέγξω τα δύο τελευταία ερωτήματα αν τα έχω σωστά

#4

εδώ είναι το ΘΕΜΑ 13 σελιδα 263εκεί

Επαναληπτική (Ανάλυση)

Επαναληπτική (Ανάλυση)

Re: Επαναληπτική (Ανάλυση)

Re: Επαναληπτική (Ανάλυση)

Re: Επαναληπτική (Ανάλυση)

Μέλη σε σύνδεση