Επαναληπτική με μιγάδες+++

pana1333 · #1

Καλημέρα.....Άλλη μία δική μου....."ελπίζω να μην έχει ελλείψεις".....

Διορθωμένη

Δίνεται η συνάρτηση $f:R \to R$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $f''\left( x \right) \ne 0$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Η γραφική παράσταση της

διέρχεται από τα σημεία $A\left( {1,0} \right)$ και $B\left( {2,-1} \right)$ .

Α) Να δείξετε ότι η

έχει μοναδική λύση στο R.

B) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Γ) Έστω ο μιγαδικός

. Αν ισχύει $f'\left( {2 + f'\left( {\left| {i \cdot u + 1} \right|} \right)} \right) < 0$ , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών u.

Δ) Έστω οι μιγαδικοί z,z_1 ,z_2 ,w

για τους οποίους ισχύει $\left| {z - z_1 } \right| = f\left( 1 \right)$ , $\left| {w - z_2 } \right| = f\left( 2 \right)$ και $\left| {z_1 - z_2 } \right| = 2f\left( {\frac{3}{2}} \right)$ . Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του $\left| {z - w} \right|$ .

#2

...Καλημέρα

...βλέποντας την έμπνευση του Χρήστου παρατήρησα ότι..

Αφού {f}'(0)={f}'(3)=0

σύμφωνα με τον ROLLE υπάρχει ${{x}_{0}}\in (0,\,\,3)$ ώστε ${f}''({{x}_{0}})=0$ που δεν συμφωνεί μετά της υπόθεσης... μήπως έχει ξεφύγει κανένας τόννος δεν ξέρω...
πρωί είναι ακόμη.... αλλά νομίζω ότι έτσι είναι...

Φιλικά Βασίλης

pana1333 · #3

Συνάδελφοι έχετε απόλυτο δίκιο.....Έστειλα λάθος άσκηση. Αυτή ήταν η αρχική σκέψη που άνακάλυψα το λάθος και την μετέτρεψα......Δίνω ελπίζω τη ""σωστή"".....

#4

.....Καλησπέρα

.... ελπίζω η λύση να είναι η σωστή...

Α) Επειδή ${f}''(x)\ne 0$ και {f}''

συνεχής, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R άρα {f}''(x)>0

ή

Τώρα επειδή στο $[1,\,2]$ σύμφωνα με ΘΜΤ υπάρχει ${{x}_{0}}\in (0,\,\,1)$ ώστε ${f}''({{x}_{0}})=\frac{{f}'(2)-{f}'(1)}{2-1}=-1<0$ θα είναι {f}''(x)<0

και άρα

γνήσια φθίνουσα

στο R άρα και ΄1-1΄ και αφού {f}'(1)=0

το

μοναδική ρίζα της {f}'

στο R.

Β) Επειδή {f}'

γνήσια φθίνουσα στο R και συνεχής θα ισχύει για x<1

ότι

άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο $(-\infty ,\,\,1]$ και για x>1

ότι

άρα η

είναι γνήσια φθίνουσα στο $\,[1,\,\,+\infty )$

επομένως έχει μέγιστο στο ${{x}_{0}}=1$ το f(1)

Γ) Από ${f}'(2+{f}'(\left| iu+1 \right|))<0\Leftrightarrow {f}'(2+{f}'(\left| iu+1 \right|))<{f}'(1)$ και επειδή {f}'

γνήσια φθίνουσα στο R θα έχουμε

$2+{f}'(\left| iu+1 \right|))>1\Leftrightarrow {f}'(\left| iu+1 \right|))>-1\Leftrightarrow {f}'(\left| iu+1 \right|))>{f}'(2)$ οπότε θα ισχύει $\left| iu+1 \right|<2$ απ΄ όπου ισοδύναμα

$\left| i(u-i) \right|<2\Leftrightarrow \left| u-i \right|<2$ που σημαίνει ότι οι εικόνες του

είναι εσωτερικά σημεία του κύκλου κέντρου $K(0,\,\,1)$ και ακτίνας 2

Δ) Οι μιγαδικοί

ανήκουν σε κύκλο κέντρου $A({{z}_{1}})$ και ακτίνας ${{\rho }_{1}}=f(1)$ και οι

ανήκουν σε κύκλο κέντρου $B({{z}_{2}})$ και ακτίνας ${{\rho }_{2}}=f(2)$

Τώρα λόγω της κυρτότητας αφού

είναι κοίλη από ΘΜΤ στα διαστήματα $[1,\,\,\frac{3}{2}],\,\,\,[\frac{3}{2},\,\,2]$ προκύπτει ότι $f(1)+f(2)<2f(\frac{3}{2})$ δηλαδή ${{\rho }_{1}}+{{\rho }_{2}}<AB$

που σημαίνει ότι οι δύο κύκλοι δεν τέμνονται, οπότε $\max \left| z-w \right|=AB+{{\rho }_{1}}+{{\rho }_{2}}=2f(\frac{3}{2})+f(0)+f(1)$ και

$\min \left| z-w \right|=AB-{{\rho }_{1}}-{{\rho }_{2}}=2f(\frac{3}{2})-f(0)-f(1)$

Φιλικά Βασίλης

pana1333 · #5

Βασίλη ευχαριστώ που ασχολήθηκες....

Μια "παρατήρηση" μόνο.....Προφανώς στο Α) εννοείς Θ.Μ.Τ στο [1,2]....

χαιρετώ

BAGGP93 · #6

Δείχνοντας ότι η δεύτερη παράγωγος διατηρεί σταθερό πρόσημο στο σύνολο των πραγματικών αριθμών συμπεραίνουμε ότι η πρώτη παράγωγος είναι γνησίως μονότονη άρα έχει το πολύ μια ρίζα.θέλω να πω ότι το Θ.Μ.Τ στο διάστημα [1,2]

δεν είναι απαραίτητο να γίνει.

Επαναληπτική με μιγάδες+++

Επαναληπτική με μιγάδες+++

Re: Επαναληπτική με μιγάδες+++

Re: Επαναληπτική με μιγάδες+++

Re: Επαναληπτική με μιγάδες+++

Re: Επαναληπτική με μιγάδες+++

Re: Επαναληπτική με μιγάδες+++

Μέλη σε σύνδεση