Επαναληπτική με μιγάδες+++

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Επαναληπτική με μιγάδες+++

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από pana1333 » Τετ Απρ 06, 2011 5:03 am

Καλημέρα.....Άλλη μία δική μου....."ελπίζω να μην έχει ελλείψεις".....

Διορθωμένη

Δίνεται η συνάρτηση f:R \to R δύο φορές παραγωγίσιμη με f''\left( x \right) \ne 0 με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Η γραφική παράσταση της f' διέρχεται από τα σημεία A\left( {1,0} \right) και B\left( {2,-1} \right).

Α) Να δείξετε ότι η f' έχει μοναδική λύση στο R.

B) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Γ) Έστω ο μιγαδικός u. Αν ισχύει f'\left( {2 + f'\left( {\left| {i \cdot u + 1} \right|} \right)} \right) < 0, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών u.

Δ) Έστω οι μιγαδικοί z,z_1 ,z_2 ,w για τους οποίους ισχύει \left| {z - z_1 } \right| = f\left( 1 \right) , \left| {w - z_2 } \right| = f\left( 2 \right) και \left| {z_1  - z_2 } \right| = 2f\left( {\frac{3}{2}} \right) . Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του \left| {z - w} \right| .
τελευταία επεξεργασία από pana1333 σε Παρ Απρ 08, 2011 3:32 am, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1374
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Επαναληπτική με μιγάδες+++

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από KAKABASBASILEIOS » Τετ Απρ 06, 2011 9:26 am

...Καλημέρα :logo: ...βλέποντας την έμπνευση του Χρήστου παρατήρησα ότι..

Αφού {f}'(0)={f}'(3)=0 σύμφωνα με τον ROLLE υπάρχει {{x}_{0}}\in (0,\,\,3) ώστε {f}''({{x}_{0}})=0 που δεν συμφωνεί μετά της υπόθεσης... μήπως έχει ξεφύγει κανένας τόννος δεν ξέρω...
πρωί είναι ακόμη.... αλλά νομίζω ότι έτσι είναι...

Φιλικά Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική με μιγάδες+++

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από pana1333 » Τετ Απρ 06, 2011 2:40 pm

Συνάδελφοι έχετε απόλυτο δίκιο.....Έστειλα λάθος άσκηση. Αυτή ήταν η αρχική σκέψη που άνακάλυψα το λάθος και την μετέτρεψα......Δίνω ελπίζω τη ""σωστή"".....


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1374
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Επαναληπτική με μιγάδες+++

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από KAKABASBASILEIOS » Πέμ Απρ 07, 2011 12:59 am

.....Καλησπέρα :logo:.... ελπίζω η λύση να είναι η σωστή...

Α) Επειδή {f}''(x)\ne 0 και {f}''συνεχής, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R άρα {f}''(x)>0 ή {f}''(x)<0

Τώρα επειδή στο [1,\,2] σύμφωνα με ΘΜΤ υπάρχει {{x}_{0}}\in (0,\,\,1)ώστε {f}''({{x}_{0}})=\frac{{f}'(2)-{f}'(1)}{2-1}=-1<0 θα είναι {f}''(x)<0 και άρα {f}' γνήσια φθίνουσα

στο R άρα και ΄1-1΄ και αφού {f}'(1)=0 το 1 μοναδική ρίζα της {f}'στο R.


Β) Επειδή {f}' γνήσια φθίνουσα στο R και συνεχής θα ισχύει για x<1 ότι

{f}'(x)>{f}'(1)=0 άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο (-\infty ,\,\,1] και για x>1ότι {f}'(x)<{f}'(1)=0 άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο \,[1,\,\,+\infty )

επομένως έχει μέγιστο στο {{x}_{0}}=1 το f(1)


Γ) Από {f}'(2+{f}'(\left| iu+1 \right|))<0\Leftrightarrow {f}'(2+{f}'(\left| iu+1 \right|))<{f}'(1) και επειδή {f}' γνήσια φθίνουσα στο R θα έχουμε

2+{f}'(\left| iu+1 \right|))>1\Leftrightarrow {f}'(\left| iu+1 \right|))>-1\Leftrightarrow {f}'(\left| iu+1 \right|))>{f}'(2) οπότε θα ισχύει \left| iu+1 \right|<2 απ΄ όπου ισοδύναμα

\left| i(u-i) \right|<2\Leftrightarrow \left| u-i \right|<2 που σημαίνει ότι οι εικόνες του u είναι εσωτερικά σημεία του κύκλου κέντρου K(0,\,\,1) και ακτίνας 2


Δ) Οι μιγαδικοί z ανήκουν σε κύκλο κέντρου A({{z}_{1}}) και ακτίνας {{\rho }_{1}}=f(1) και οι w ανήκουν σε κύκλο κέντρου B({{z}_{2}}) και ακτίνας {{\rho }_{2}}=f(2)

Τώρα λόγω της κυρτότητας αφού f είναι κοίλη από ΘΜΤ στα διαστήματα [1,\,\,\frac{3}{2}],\,\,\,[\frac{3}{2},\,\,2] προκύπτει ότι f(1)+f(2)<2f(\frac{3}{2}) δηλαδή {{\rho }_{1}}+{{\rho }_{2}}<AB

που σημαίνει ότι οι δύο κύκλοι δεν τέμνονται, οπότε \max \left| z-w \right|=AB+{{\rho }_{1}}+{{\rho }_{2}}=2f(\frac{3}{2})+f(0)+f(1) και

\min \left| z-w \right|=AB-{{\rho }_{1}}-{{\rho }_{2}}=2f(\frac{3}{2})-f(0)-f(1)

Φιλικά Βασίλης
τελευταία επεξεργασία από KAKABASBASILEIOS σε Παρ Απρ 08, 2011 10:05 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική με μιγάδες+++

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από pana1333 » Παρ Απρ 08, 2011 3:34 am

Βασίλη ευχαριστώ που ασχολήθηκες....

Μια "παρατήρηση" μόνο.....Προφανώς στο Α) εννοείς Θ.Μ.Τ στο [1,2]....


χαιρετώ


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1345
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Επαναληπτική με μιγάδες+++

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από BAGGP93 » Πέμ Αύγ 18, 2011 12:26 pm

Δείχνοντας ότι η δεύτερη παράγωγος διατηρεί σταθερό πρόσημο στο σύνολο των πραγματικών αριθμών συμπεραίνουμε ότι η πρώτη παράγωγος είναι γνησίως μονότονη άρα έχει το πολύ μια ρίζα.θέλω να πω ότι το Θ.Μ.Τ στο διάστημα [1,2] δεν είναι απαραίτητο να γίνει.
τελευταία επεξεργασία από Γενικοί Συντονιστές σε Πέμ Αύγ 18, 2011 1:36 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση Κώδικα LaTeX


Παπαπέτρος Ευάγγελος

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες