Επαναληπτική 1

#1

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{ f:\left[ {1,2} \right] \to R }$ , για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

• $\displaystyle{ f{'}{'}\left( x \right) < 0 }$ για κάθε $\displaystyle{ x \in \left[ {1,2} \right] }$ και

• $\displaystyle{ f\left( 1 \right) = 0,\;f\left( 2 \right) = 2 }$ και $\displaystyle{ f{'}\left( 2 \right) = 1 }$

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και να βρείτε το σύνολο τιμών της

β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right):y = x }$ εφάπτεται της $\displaystyle{ C_f }$

γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{ x_0 \in \left( {1,2} \right) }$ ώστε: $\displaystyle{ f{'}{'}\left( {x_0 } \right) < - 1 }$

δ) Να αποδείξετε ότι:

i) $\displaystyle{ \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}} {{x - 1}} > \frac{{f\left( 2 \right) - f\left( x \right)}} {{2 - x}} }$ για κάθε $\displaystyle{ x \in \left( {1,2} \right) }$

ii) $\displaystyle{ f\left( x \right) \geqslant 2\left( {x - 1} \right) }$ για κάθε $\displaystyle{ x \in \left[ {1,2} \right] }$

iii) $\displaystyle{ \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \geqslant 1 }$

ε) Να αποδείξετε ότι η ευθεία $\displaystyle{ \left( \eta \right):x + y = 2 }$ τέμνει σε ένα ακριβώς σημείο τη $\displaystyle{ C_f }$

στ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\displaystyle{ \xi _1 ,\xi _2 \in \left( {1,2} \right) }$ με $\displaystyle{ \xi _1 < \xi _2 }$ ώστε: $\displaystyle{ f{'}\left( {\xi _1 } \right) \cdot f{'}\left( {\xi _2 } \right) = f{'}\left( {\xi _1 } \right) + 2 }$

ζ) Να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle{ f }$

Στάθης

#2

...Καλημέρα

και γιά όλη την παρέα με το καλό ο νέος χρόνος...

α) Αφού {f}''(x)<0

η

θα είναι γνήσια φθίνουσα στο $[1,\,2]$ έτσι για x<2

θα ισχύει

άρα η f θα είναι γνήσια αύξουσα στο $[1,\,\,2]$ επομένως και σαν συνεχής θα έχει σύνολο τιμών το $[f(1),\,\,f(2)]=[0,\,\,2]$

β) Αρκεί να υπάρχει $A({{x}_{0}},\,f({{x}_{0}}))$ ώστε ${f}'({{x}_{0}})=1$ και $f({{x}_{0}})={{x}_{0}}$ που από υπόθεση αυτό είναι το σημείο $(2,\,2)$

γ) Έστω ότι ισχύει ${f}''(x)\ge -1\Leftrightarrow {f}''(x)+1\ge 0,\,\,x\in (1,\,2)$ τότε θα είναι και $({f}'(x)+x{)}'\ge 0$ (1)

Από Θεώρημα μέσης τιμής για την

στο $[1,\,\,2]$ υπάρχει $\xi \in (1,\,\,2)$ ώστε ${f}'(\xi )=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=2$

Τώρα για την g(x)={f}'(x)+x

στο $[\xi ,\,\,2]$ θα υπάρχει ${{x}_{0}}\in (\xi ,\,2)$ ώστε να ισχύει

${g}'({{x}_{0}})=\frac{g(2)-g(\xi )}{2-\xi }\ge 0$ λόγω (1) άρα αφού $2-\xi >0$ θα ισχύει και

$g(2)>g(\xi )\Leftrightarrow {f}'(2)+2>{f}'(\xi )+\xi \Leftrightarrow 1+2>2+\xi \Leftrightarrow 1>\xi$ άτοπο αφού $\xi \in (1,\,\,2)$

Οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ${{x}_{0}}\in (1,\,\,2)$ ώστε ${f}''({{x}_{0}})<-1$

δ) i) Για κάθε $x\in (1,\,\,2)$ στα διαστήματα $[1,\,\,x],\,\,\,[x,\,\,2]$ σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής θα υπάρχουν

${{x}_{1}}\in (1,\,x),\,\,\,{{x}_{2}}\in (x,\,\,2)$ ώστε να ισχύουν ${f}'({{x}_{1}})=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ και ${f}'({{x}_{2}})=\frac{f(2)-f(x)}{2-x}$ και επειδή {f}'

θα είναι γνήσια φθίνουσα και ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ θα ισχύει ${f}'({{x}_{1}})>{f}'({{x}_{2}})$ άρα $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}>\frac{f(2)-f(x)}{2-x}$

ii) Από $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}>\frac{f(2)-f(x)}{2-x}$ επειδή $f(1)=0,\,\,f(2)=2$ θα ισχύει

$\frac{f(x)}{x-1}>\frac{2-f(x)}{2-x}\Leftrightarrow (2-x)f(x)>2x-2-(x-1)f(x)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(x)>2(x-1)$ για κάθε $x\in (1,\,\,2)$ έτσι για $f(x)\ge 2(x-1),\,\,\,x\in [1,\,\,2]$

iii) Από $f(x)\ge 2(x-1),\,\,\,x\in [1,\,\,2]$ θα ισχύει $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}\ge \int\limits_{1}^{2}{(2x-2)dx=[{{x}^{2}}-2x]_{1}^{2}}=1$

ε) Αρκεί η εξίσωση $f(x)=-x+2\Leftrightarrow f(x)+x-2=0$ να έχει μοναδική λύση.

Έτσι αν $g(x)=f(x)+x-2,\,\,\,x\in [1,\,\,2]$ είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών με

g(1)=f(1)+1-2=-1<0

και

και αφού

από θεώρημα BOLZANO g(x)=0

έχει μία ρίζα στο $\rho \in (1,\,\,2)$ και επειδή {g}'(x)={f}'(x)+1>0

η

είναι γνήσια

αύξουσα στο $(1,\,\,2)$ άρα η ρίζα είναι και μοναδική

ζ) Στα διαστήματα τώρα $[1,\,\,\rho ],\,\,[\rho ,\,\,2]$ συμφωνα με το Θεώρημα Μέσης τιμής υπάρχουν ${{\xi }_{1}}\in (1,\,\,\rho ),\,\,\,{{\xi }_{2}}\in (\rho ,\,\,2)$

ώστε να ισχύει ${f}'({{\xi }_{1}})=\frac{f(\rho )-f(1)}{\rho -1}=\frac{-\rho +2}{\rho -1}$ και ${f}'({{\xi }_{2}})=\frac{f(2)-f(\rho )}{2-\rho }=\frac{2+\rho -2}{2-\rho }=\frac{\rho }{2-\rho }$ άρα

${f}'({{\xi }_{1}}){f}'({{\xi }_{2}})=\frac{-\rho +2}{\rho -1}\cdot \frac{\rho }{2-\rho }=\frac{\rho }{\rho -1}$ και επειδή ${f}'({{\xi }_{1}})+2=\frac{-\rho +2}{\rho -1}+2=\frac{-\rho +2+2\rho -2}{\rho -1}=\frac{\rho }{\rho -1}$

θα ισχύει ${f}'({{\xi }_{1}}){f}'({{\xi }_{2}})={f}'({{\xi }_{1}})+2$

...και τελικά είναι και εδω viewtopic.php?f=55&t=15092

Γιορτινά και Μαθηματικά
Βασίλης

Επαναληπτική 1

Επαναληπτική 1

Re: Επαναληπτική 1

Μέλη σε σύνδεση