Πρωτότυπο συνδυαστικό

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Πρωτότυπο συνδυαστικό

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Τετ Ιούλ 10, 2013 2:23 pm

Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z=a+bi και w=b+ci με a,b,c \epsilon R
Δίνεται και η συνάρτηση f με τύπο f(x)=\frac{b^2x^3+(6a^2+1)x+c^2-5}{x-2} για την οποία ισχύει ότι \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=37}
α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w στο μιγαδικό επίπεδο.
β) Να αποδείξετε ότι \left|z^2 \right|+\left|z^2-3 \right|=9
γ) Αν b>0 να βρείτε που κινείται η εικόνα του μιγαδικού -\bar{w} καθώς επίσης και το \left|w+\bar{w} \right|_{min}


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από dennys » Τετ Ιούλ 10, 2013 3:56 pm

1) Αρχικά επειδή το όριο είναι πραγματικ'ός αριθμός πρέπει 8b^{2}+12a^{2}+2+c^{2}-5=0  (1)

και τότε \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}\cfrac{b^{2}x^{3}+6a^{2}x+x-8b^{2}-12a^{2}-2}{x-2}=

\displaystyle \lim_{x\to 2}\cfrac{(x-2)[(x^{2}+2x+4)+6a^{2}+1}{x-2}=37\Rightarrow 2b^{2}+a^{2}=6\Rightarrow \cfrac{a^{2}}{6}+\cfrac{b^{2}}{3}=1

δηλ η εικόνα του z κινείται σε έλλειψη.

Απο την (1) με την σχέση της έλλειψης ,έχουμε 16b^{2}-c^{2}=69 αρα υπερβολή.

2) Ξεκινάω απο το πρώτο μέλος και έχω

|z^{2}|+|z^{2}-3|=|a^{2}-b^{2}+2abi|+|(a^{2}-b^{2}-3)+2abi|=, χωρίς δεξιότεχνες πράξεις και με την σχέση της έλλειψης

αφου κάνω τα μέτρα ρίζες,καταλήγω a^{2}+b^{2}+\sqrt{(b^{2}+3)^{2}}=a^{2}+2b^{2}+3=6+3=9.-

3) Επειδή κινείται σε υπερβολή η οποία έχει συμμετρία και ως πρός x'x αλλά και ως πρός το O(0,0)

ο -\bar {w} κινείται στην ίδια υπερβολή αλλά συμμετρικα ως πρός y'y\Rightarrow |w+\bar {w}|_{min}=2b
τελευταία επεξεργασία από dennys σε Τετ Ιούλ 10, 2013 8:54 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Christos75 » Τετ Ιούλ 10, 2013 6:20 pm

dennys έγραψε:1) Αρχικά επειδή το όριο είναι πραγματικ'ός αριθμός πρέπει 8b^{2}+12a^{2}+2+c^{2}-5=0  (1)

και τότε \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}\cfrac{b^[2]x^{3}+6a^{2}x+x-8b^{2}-12a^{2}-2}{x-2}=

\displaystyle \lim_{x\to 2}\cfrac{(x-2)[(x^{2}+2x+4)+6a^{2}+1}{x-2}=37\Rightarrow 2b^{2}+a^{2}=6\Rightarrow \cfrac{a^{2}}{6}+\cfrac}b^{2}}{3}=1


Μία μικρή διόρθωση λόγω κεκτημένης κ Βουτσά. Η εξίσωση της έλλειψης είναι : \displaystyle{\frac{a ^{2}}{6}+\frac{b^{2}}{3}=1}


thanasis kopadis έγραψε:Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z=a+bi και w=b+ci με a,b,c \epsilon R
Δίνεται και η συνάρτηση f με τύπο f(x)=\frac{b^2x^3+(6a^2+1)x+c^2-5}{x-2} για την οποία ισχύει ότι \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=37}
α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w στο μιγαδικό επίπεδο.
β) Να αποδείξετε ότι \left|z^2 \right|+\left|z^2-3 \right|=9
γ) Αν b>0 να βρείτε που κινείται η εικόνα του μιγαδικού -\bar{w} καθώς επίσης και το \left|w+\bar{w} \right|_{min}


Ωραία θεματάκι Θανάση, περιμένουμε κι άλλο...
τελευταία επεξεργασία από Christos75 σε Τετ Ιούλ 10, 2013 8:55 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Χρήστος Λοΐζος
dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από dennys » Τετ Ιούλ 10, 2013 8:14 pm

Θα παρακαλούσα να διορθώσετε το αγαπητέ/ή
dennys είναι Ο κ. Βουτσάς Διονύσης.


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Christos75 » Τετ Ιούλ 10, 2013 8:53 pm

dennys έγραψε:Θα παρακαλούσα να διορθώσετε το ο/η
dennys είναι ο Βουτσάς Διονύσης.


Βεβαίως, δεν γνώριζα το πλήρες όνομα. Αγαπητέ Διονύση λοιπόν, θα διορθωθεί.


Χρήστος Λοΐζος
dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από dennys » Τετ Ιούλ 10, 2013 8:55 pm

Να είστε καλά κ. Αλεξίου Χρήστο


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από thanasis kopadis » Τετ Ιούλ 10, 2013 10:48 pm

Καλησπέρα συνάδελφοι.
Χρήστο σε ευχαριστώ πολύ.. :)

β) Λίγο διαφορετικά:
Αφού η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε έλλειψη με εστίες E΄(-\sqrt{3},0) , E(\sqrt{3},0) και μεγάλο άξονα μήκους 2\sqrt{6} , από τον ορισμό της έλλειψης θα ισχύει:
\left|z+\sqrt{3} \right|+\left|z-\sqrt{3} \right|=2\sqrt{6}. Υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε:
\left|z+\sqrt{3} \right|^2+\left|z-\sqrt{3} \right|^ 2 +2\left|z+\sqrt{3} \right|\left|z-\sqrt{3} \right|=(2\sqrt{6})^ 2\Leftrightarrow
(z+\sqrt{3})(\bar{z}+\sqrt{3})+(z-\sqrt{3})(\bar{z}-\sqrt{3})+2\left|(z+\sqrt{3})(z-\sqrt{3}) \right|=24\Leftrightarrow
2z\bar{z}+2\left|z^2-3 \right|=18\Leftrightarrow \left|z^2 \right|+\left|z^2-3 \right|=9

γ) Να συμπληρώσω ότι αφού b>0 η εικόνα του w θα κινείται στο δεξί κλάδο της υπερβολής.
Οπότε λόγω του ότι η εικόνα του -\bar{w} είναι συμμετρική ως προς τον άξονα των \psi θα κινείται στον αριστερό κλάδο της ίδιας υπερβολής, με αποτέλεσμα (όπως προαναφέρθηκε από τον Διονύση): \left|w+\bar{w} \right|_{min}=\left|w-(-\bar{w}) \right|_{min}=2\alpha
τελευταία επεξεργασία από thanasis kopadis σε Πέμ Ιούλ 11, 2013 7:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από Christos75 » Τετ Ιούλ 10, 2013 11:03 pm

thanasis kopadis έγραψε:Καλησπέρα συνάδελφοι.
Χρήστο σε ευχαριστώ πολύ.. :)

β) Λίγο διαφορετικά:
Αφού η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε έλλειψη με εστίες E΄(-\sqrt{3},0) , E(\sqrt{3},0) και μεγάλο άξονα μήκους 2\sqrt{6} , από τον ορισμό της έλλειψης θα ισχύει:
\left|z+\sqrt{3} \right|+\left|z-\sqrt{3} \right|=2\sqrt{6}. Υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε:
\left|z+\sqrt{3} \right|^2+\left|z-\sqrt{3} \right|^ 2 +2\left|z+\sqrt{3} \right|\left|z-\sqrt{3} \right|=(2\sqrt{6})^ 2\Leftrightarrow
(z+\sqrt{3})(\bar{z}+\sqrt{3})+(z-\sqrt{3})(\bar{z}-\sqrt{3})+2\left|(z+\sqrt{3})(z-\sqrt{3}) \right|=24\Leftrightarrow
2z\bar{z}+2\left|z^2-3 \right|=18\Leftrightarrow \left|z^2 \right|+\left|z^2-3 \right|=9

γ) Να συμπληρώσω ότι αφού b>0 η εικόνα του w θα κινείται στο δεξί κλάδο της υπερβολής.
Οπότε λόγω του ότι η εικόνα του -\bar{w} είναι συμμετρική ως προς τον άξονα των \psi θα κινείται στον αριστερό κλάδο της ίδιας υπερβολής, με αποτέλεσμα (όπως προαναφέρθηκε από τον Διονύση): \left|w+\bar{w} \right|_{min}=\left|w-(-\bar{w}) \right|_{min}=2\beta



Μπράβο Θανάση ωραία λύση αυτή και πιο σύντομη με λιγότερο κίνδυνο να κάνεις λάθος πράξεις.


Χρήστος Λοΐζος

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες