Μιγαδικοί-Λύση εξίσωσης

math68 · #1

Χρόνια πολλά και καλή χρονιά σε όλους!
Η άσκηση είναι γνωστή, αλλά θα ήθελα τη γνώμη σας!
Δίνεται η δευτεροβάθμια στο C εξίσωση:

$\displaystyle{ 2\left( {\lambda + 3} \right)\sqrt \lambda z \wedge 2 - 8\sqrt 3 z + 3\lambda \left( {\ln \lambda - 1} \right) + 11 = 0,\lambda > 0 }$
η οποία έχει ρίζα έναν μιγαδικό και μη πραγματικό αριθμό με μέτρο 1.
Να υπολογίσετε το λ.

mathxl · #2

Από την πληροφορία της ρίζας είναι Δ < 0 άρα γινόμενο ριζών (συζυγών) Ρ = 1
Βρίσκουμε $2\left( {\lambda + 3} \right)\sqrt \lambda - 3\lambda \left( {\ln \lambda - 1} \right) + 11 = 0,\lambda > 0$

Την ορίζουμε ως συνάρτηση του λ-ουκουμά
$f\left( \lambda \right) = 2\left( {\lambda + 3} \right)\sqrt \lambda - 3\lambda \left( {\ln \lambda - 1} \right) + 11 = 0,\lambda > 0$
η οποία έχει προφανή ρίζα το 1
$f'\left( \lambda \right) = \frac{{3\left( {\lambda + 1 - \ln \lambda } \right)}}{{\sqrt \lambda }} \ge \frac{6}{{\sqrt \lambda }} > 0$
για το πρόσημο χρησιμοποιήθηκε η εφαρμογή Ελενίτσα του(λ)=< λ -1
Άρα γνησίως αύξουσα και το λ=1 είναι μοναδική ρίζα
με αντικατάσταση βρίζκουμε τις ρίζες
$z = \frac{{\sqrt 3 \pm i}}{2}$

math68 · #3

Mathxl καταρχήν ευχαριστώ πολύ που αφιέρωσες χρόνο, όχι μόνο να ασχοληθείς με την άσκηση, αλλά να γράψεις και τη λύση! Η ιδέα της άσκησης είναι γνωστή, αλλά επειδή η αρχική δευτεροβάθμια εξίσωση είναι προσωπική κατασκευή, ήθελα να δω μήπως κάτι δε δουλεύει σωστά. Όσον αφορά τη λύση, η εξίσωση με την οποία ξεκινάς αντί για +11 πρέπει να θέλει -11 και επίσης εγώ βρίσκω πρώτη παράγωγο:
f ' (λ)=

$\displaystyle{ \frac{{3\left( {\lambda + 1 - \sqrt \lambda \ln \lambda } \right)}}{{\sqrt \lambda }} }$ .
Η τιμή του λ μου βγαίνει 1, οπότε οι ρίζες της δευτεροβάθμιας είναι αυτές που βρίσκεις.
Και πάλι ευχαριστώ για το χρόνο που αφιέρωσες!

mathxl · #4

Νασαι καλά! Τα δύο λάθη που επεσήμανες έγιναν από μη αλλαγή προσήμου κατά την μεταφορά όρου και το άλλο στα ομώνυμα λολλλλλ (επιπολαιότητα στο φουλ). Καλοσύνη σου που μοιράστηκες την άσκηση σου μαζίμας, προσωπικά μου άρεσε. Θα ξαναδώ την μονοτονία με την σωστή παράγωγο αργότερα

mathxl · #5

Η διαφορά στην ΄διορθωμένη" παράγωγο την κάνει να έχει ελαφρώς πιο άγρια ομορφιά (σχεδόν σαν την δική μου)

Ισχύει $\ln \sqrt \lambda \le \sqrt \lambda - 1 \Leftrightarrow \ln \lambda \le 2\sqrt \lambda - 2 \Leftrightarrow 2\sqrt \lambda - \ln \lambda - 2 \ge 0$ μετην ισότητα στο 1 από γνωστή εφαρμογή.
Ορίζουμε $g\left( \lambda \right) = \lambda + 1 - \sqrt \lambda \ln \lambda ,\lambda > 0$
αφού από αυτήν εξαρτάται το πρόσημο της παραγώγου
Είναι
$g'\left( \lambda \right) = \frac{{2\sqrt \lambda - \ln \lambda - 2}}{{2\sqrt \lambda }} \ge 0$
με την ισότητα στο 1, άρα γνησίως αύξουσα, οπότε το σύνολο τιμών της g είναι το $\left( {\mathop {\lim }\limits_{\lambda \to {0^ + }} g\left( \lambda \right),\mathop {\lim }\limits_{\lambda \to + \infty } g\left( \lambda \right)} \right)$ δηλαδή το $\left( {1,\mathop {\lim }\limits_{\lambda \to + \infty } g\left( \lambda \right)} \right)$
αφού η g είναι μεγαλύτερη του 1 άρα θετική, καθίσταται και η f' θετική δηλαδή η f γνησίως αύξουσα και η λ = 1 μοναδική

ΥΓ: Επέτρεψε μου να την "κλέψω", αν θες δώσε και το όνομα σου για να την καταχωρήσω ως επώνυμη στις σημειώσεις μου

Μιγαδικοί-Λύση εξίσωσης

Μιγαδικοί-Λύση εξίσωσης

Re: Μιγαδικοί-Λύση εξίσωσης

Re: Μιγαδικοί-Λύση εξίσωσης

Re: Μιγαδικοί-Λύση εξίσωσης

Re: Μιγαδικοί-Λύση εξίσωσης

Μέλη σε σύνδεση