Ελάχιστο

[christodoulou]

Έστω α,βεR, α<β και f:[α,β]R μία συνάρτηση συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στα α και β, έτσι ώστε f΄(α)<0 και f΄(β)>0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξε(α,β), στο οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο.

[Mihalis_Lambrou]

Έστω α,βεR, α<β και f:[α,β]R μία συνάρτηση συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στα α και β, έτσι ώστε f΄(α)<0 και f΄(β)>0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξε(α,β), στο οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο.

Όλες οι συνεχείς συναρτήσεις παρουσιάζουν ελάχιστο. Μένει να δείξουμε ότι η συγκεκριμένη δεν το παρουσιάζει στα άκρα.

Πράγματι, αφού ,
σε περιοχή ( a, a + δ) του a είναι , άρα
f(x) < f(a). Με άλλα λόγια το ελάχιστο δεν είναι στο a.

Όμοια στο δεξί άκρο.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου