Ελάχιστη τιμη

APOSTOLAKIS · #1

Έστω τρία σημεία A, B, C ενός κύκλου με ακτίνα 1, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $\vec{AB}\cdot \vec{AC}$

#2

APOSTOLAKIS έγραψε:Έστω τρία σημεία A, B, C ενός κύκλου με ακτίνα 1, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $\vec{AB}\cdot \vec{AC}$

Μία λύση, η οποία σίγουρα ανήκει σε άλλο φάκελο:

Ας είναι

$\displaystyle{A(\cos a , \sin a)}$ , $\displaystyle{B(\cos b, \sin b)}$ και $\displaystyle{C(\cos c, \sin c).}$

Μετα τις πράξεις, εύκολα βλέπουμε ότι

$\displaystyle{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=1+\cos (b-c)-\cos (b-a)-\cos (a-c)}$ ,

δηλαδή

$\displaystyle{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=1-\left[\cos (\pi-b+c)+\cos (b-a)+\cos (a-c) \right].}$

Ας θέσουμε για ευκολία $\displaystyle{x=\pi -b+c,y=b-a,c=a-c.}$ Τότε έχουμε $\displaystyle{x+y+z=\pi}$ και μπορούμε να θεωρήσουμε τα σημεία έτσι ώστε να είναι και $\displaystyle{x,y,z\geq 0}$

Όμως, όταν $\displaystyle{0\leq x,y,z, \ \ x+y+z=\pi}$ , είναι $\displaystyle{\cos x+\cos y+\cos z\leq \frac{3}{2}.}$

Επομένως, η ελάχιστη τιμή της παράστασης είναι το $\displaystyle{-\frac{1}{2}}$ και πιάνεται όταν π.χ. $\displaystyle{a=60^0, b=120^0, c=0^0.}$

APOSTOLAKIS · #3

Η λύση μου είναι παρόμοια, παίρνω τα σημεία:

$\displaystyle{A(1 , 0)}, \displaystyle{B(\cos b, \sin b)} , \displaystyle{C(\cos c, \sin c).}$

Μετά τις πράξεις, εύκολα καταλήγω στο $-\frac{1}{2}$

Νίκος Αποστολάκης

parmenides51 · #4

Θα με ενδιέφερε οποιαδήποτε άλλη αντιμετώπιση (χωρίς τριγωνομετρία).

Έχει άραγε γεωμετρική ερμηνεία το παραπάνω ελάχιστο εσωτερικό γινόμενο;

#5

Έστω

το μέσο της πλευράς

και

το κέντρο του κύκλου. Τότε

$\displaystyle{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\left(\overrightarrow{AM}-\frac{\overrightarrow{BC}}{2}\right)\cdot \left (\overrightarrow{AM}+\frac{\overrightarrow{BC}}{2}\right) =m^2_a-\frac{a^2}{4}}$ .

Για τα σημεία A,O,M

ισχύει $\left|AM-OA \right|\leq OM$ οπότε

$\displaystyle{\left|m_a-R \right|\leq \sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}}$ .

Υψώνοντας στο τετράγωνο προκύπτει $\displaystyle{4m_aR\geq 2m_a^2+\frac{a^2}{2}}$ . Η ισότητα ισχύει όταν τα σημεία A,O,M

είναι συνευθειακά, δηλ. όταν b=c

.

Επίσης $4m_a^2+R^2\geq 4m_aR$ με την ισότητα να ισχύει όταν 2m_a=R

.

Άρα $\displaystyle{4m_a^2+R^2\geq 4m_aR\geq 2m_a^2+\frac{a^2}{2}}$ .

Επομένως $\displaystyle{m_a^2-\frac{a^2}{4}\geq -\frac{R^2}{2}}$ και εφόσον R=1

, προκύπτει ότι

$\displaystyle{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\geq -\frac{1}{2}}$ .

Το ελάχιστο επιτυγχάνεται μόνο όταν $\hat{B}=\hat{C}=30^o$ .

Ελάχιστη τιμη

Ελάχιστη τιμη

Re: Ελάχιστη τιμη

Re: Ελάχιστη τιμη

Re: Ελάχιστη τιμη

Re: Ελάχιστη τιμη

Μέλη σε σύνδεση