Άπειρες πραγματικές λύσεις

pana1333 · #1

Καλησπέρα.

Αν η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ είναι περιοδική και παραγωγίσιμη στο R, να δείξετε ότι η παράγωγος της

έχει άπειρες πραγματικές ρίζες.

#2

pana1333 έγραψε:Καλησπέρα.

Αν η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ είναι περιοδική και παραγωγίσιμη στο R, να δείξετε ότι η παράγωγος της έχει άπειρες πραγματικές λύσεις.

ρίζες

Αν Τ η περίοδος, από Rolle η f '

έχει μία ρίζα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (kT , (k+1)T)

, αφού

.

M.

chris · #3

Αφού η συνάρτησή μας είναι περιοδική τότε:

$\boxed{f(x)=f(x+T),\forall x \in \mathbb{R}}(1)$ όπου

η περίοδος της συνάρτησης.

Θεωρούμε την $\displaystyle g(x)=f(x)-f\left(x+\frac{T}{2} \right),x \in \mathbb{R}$ που είναι συνεχής και ισχύει:

$\displaystyle g(x)\cdot g\left(x+\frac{T}{2} \right)=\left[f(x)-f\left(x+\frac{T}{2} \right) \right]\cdot \left[f\left(x+\frac{T}{2} \right)-f(x+T) \right]\stackrel{(1)}= -\left[f(x)-f\left(x+\frac{T}{2} \right) \right]^2\leq 0$

και άρα απο Θ.Bolzano υπάρχει
$x_0 \in \left[x,x+\frac{T}{2} \right]:f(x_0)=f\left(x_0+\frac{T}{2} \right)$

και έπειτα απο Rolle και χρήση της (1) προκύπτουν τα απειρα σημεία μηδενισμού της

.

Άπειρες πραγματικές λύσεις

Άπειρες πραγματικές λύσεις

Re: Άπειρες πραγματικές λύσεις

Re: Άπειρες πραγματικές λύσεις

Μέλη σε σύνδεση