Άντε ψάξε να βρεις βραδιάτικα ...

#1

Αν

με $k \in \mathbb{R}^*$ και $m,n \in \mathbb{R}$ , να αποδείξετε ότι n^2>km

.

#2

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Αν με $k \in \mathbb{R}^*$ και $m,n \in \mathbb{R}$ , να αποδείξετε ότι .

Λευτέρη, μάλλον σε άλλο φάκελο ήθελες να την βάλεις αυτή την άσκηση:

Επειδή είναι $\displaystyle{(m+n)^2\geq 0,}$ είναι $\displaystyle{m^2+2mn+n^2\geq 0 \Rightarrow n^2\geq -m^2-2mn, }$ οπότε λόγω του δεδομένου, προκύπτει το ζητούμενο.

Υ.Γ. Το $\displaystyle{k\in \mathbb{R}^*}$ είναι περιττό.

Α.Κυριακόπουλος · #3

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Αν με $k \in \mathbb{R}^*$ και $m,n \in \mathbb{R}$ , να αποδείξετε ότι .

Έχουμε:
$km + 2mn + {m^2} < 0 \Rightarrow {n^2} > km + {(n + m)^2} \ge km \Rightarrow {n^2} > km$ .
Το $k \ne 0$ δεν χρειάζεται .
Με πρόφθασε ο Θάνος.

#4

Έλα που την έβαλα στο σωστό φάκελο!!!

Απλά κοίταζα λύση μόνο με Ανάλυση. Δεν ξέρω αν έχει νόημα να δούμε και μια λύση με Ανάλυση. Το αφήνω λίγο ακόμα, μήπως και κάποιος κινηθεί προς τα εκεί.

Προφανώς και έχετε δίκιο για το

.

#5

Μια προσέγγιση με ανάλυση.

* Αν $k \neq 0$ θεωρούμε f(x)=kx^2+2nx+m

.
Η

είναι συνεχής στο [0,1]

ως πολυωνυμική,
f(0)f(1)=m(k+2n+m)=km+2mn+m^2<0

,
άρα από Bolzano υπάρχει ρίζα της f(x)=0

στο (0,1).
Αφού το τριώνυμο έχει ρίζα ισχύει: $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow n^2 \geq km$ .
Αν $\Delta = 0 \Leftrightarrow n^2 = km$ , τότε το τριώνυμο είναι ομόσημο του

εκτός από τη ρίζα,
που είναι ΑΤΟΠΟ αφού f(0)f(1)<0

(υπάρχουν ετερόσημες τιμές).
Συνεπώς n^2>km

.

* Αν

, από την υπόθεση έχουμε 2mn+m^2<0

και θέλουμε να δείξουμε ότι $n^2>0 \Leftrightarrow n \neq 0$ .
Αν n=0

θα ισχύει

, που είναι άτοπο, άρα n^2>0

.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Άντε ψάξε να βρεις βραδιάτικα ...

Άντε ψάξε να βρεις βραδιάτικα ...

Re: Άντε ψάξε να βρεις βραδιάτικα ...

Re: Άντε ψάξε να βρεις βραδιάτικα ...

Re: Άντε ψάξε να βρεις βραδιάτικα ...

Re: Άντε ψάξε να βρεις βραδιάτικα ...

Μέλη σε σύνδεση