ΩΡΑΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ(Μιγαδικοί)

APOSTOLAKIS · #1

Έστω ο μιγαδικός z, να λυθεί η εξίσωση:
$\left|z \right|+\left|z-1 \right|+\left|z-2 \right|+...+\left|z-2009 \right|=1005^{2}$

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Έχεις το αποτέλεσμα; Γιατί κάτι έχω βρει και θέλω να το συγκρίνω...

#3

Nice!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

APOSTOLAKIS · #4

Eίναι σωστό!

hsiodos · #5

APOSTOLAKIS έγραψε:Έστω ο μιγαδικός z, να λυθεί η εξίσωση:
$\left|z \right|+\left|z-1 \right|+\left|z-2 \right|+...+\left|z-2009 \right|=1005^{2}$

Μια αντιμετώπιση
Ας ονομάσουμε S το πρώτο μέλος της ισότητας. Ισχύουν:

$\displaystyle{ \left| {\,z\,} \right| + \left| {\,z - 2009\,} \right| = \,\,\,\,\left| {\,z\,} \right| + \left| {\,2009 - z\,} \right|\,\,\, \ge \,\,\left| {\,z + (2009 - z)\,} \right|\, = \,2009\,\,\,\,(1)}$

$\displaystyle{ \left| {\,z\, - 1} \right| + \left| {\,z - 2008\,} \right| = \left| {\,z - 1\,} \right| + \left| {\,2008 - z\,} \right|\,\,\, \ge \,\,\left| {\,(z - 1) + (2008 - z\,)} \right|\,\, = 2007\,\,\,\,(2)}$

$\displaystyle{ \begin{array}{l} ............................................................................ \\ \left| {\,z\, - 1003} \right| + \left| {\,z - 1006\,} \right| = \left| {\,z - 1003\,} \right| + \left| {\,1006 - z\,} \right|\,\,\, \ge \,\,\,\,\left| {\,(z - 1003) + (1006 - z\,)} \right|\,\, = \,\,\,3\,\,\,\,(1004) \\ \end{array}}$

$\displaystyle{ \left| {\,z\, - 1004} \right| + \left| {\,z - 1005\,} \right| = \left| {\,z - 1004\,} \right| + \left| {\,1005 - z\,} \right|\,\,\, \ge \,\,\,\left| {\,(z - 1004) + (1005 - z\,)} \right|\,\, = \,\,\,1\,\,\,\,(1005)}$

Είναι $\displaystyle{ 1 + 3 + 5 + \cdot \cdot \cdot + 2009 = \frac{{(1 + 2009)1005}}{2} = 1005^2 }$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1),(2),...(1005) βρίσκουμε: $\displaystyle{S \ge 1005^2 \Rightarrow 1005^2 \ge 1005^2}$

Επομένως αν(για κάποιο από τα ζητούμενα z) έστω και μία από τις (1),(2),...(1005) είναι αυστηρά ανισότητα βρίσκουμε $\displaystyle{1005^2 > 1005^2 }$ , άτοπο

Συμπεραίνουμε ότι τα ζητούμενα z καθιστούν τις (1),(2),...(1005) ισότητες , δηλαδή η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα των εξισώσεων:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \left| {\,z\,} \right| + \left| {\,2009 - z\,} \right|\,\, = \,\,\left| {\,z + (2009 - z)\,} \right|\, = \,2009\,\,\,\,(1) \\ \left| {\,z - 1\,} \right| + \left| {\,2008 - z\,} \right|\,\, = \,\,\left| {\,(z - 1) + (2008 - z\,)} \right|\,\, = 2007\,\,\,\,(2) \\ ............................................................................ \\ \left| {\,z - 1003\,} \right| + \left| {\,1006 - z\,} \right|\,\,\, = \,\,\,\,\left| {\,(z - 1003) + (1006 - z\,)} \right|\,\, = \,\,\,3\,\,\,\,(1004) \\ \left| {\,z - 1004\,} \right| + \left| {\,1005 - z\,} \right|\,\,\, = \,\,\,\left| {\,(z - 1004) + (1005 - z\,)} \right|\,\, = \,\,\,1\,\,\,\,(1005) \\ \end{array}}$

Προκύπτει τώρα αρχικά ότι $\displaystyle{z \in R}$ (η (1) πχ ισχύει αν 2009-z = λz , λ>0 και απο δω εύκολα βρίσκουμε ότι z πραγματικός και μάλιστα θετικός)

Αν τώρα z < 1004 ή z > 1005 προφανώς η εξίσωση (1005) είναι αδύνατη.

Άρα $\displaystyle{z \in [1004,1005]}$ , εύκολα διαπιστώνουμε ότι η τυχαία τιμή του z με $\displaystyle{z \in [1004,1005]}$ είναι λύση των εξισώσεων (1),(2),...(1005).

Γιώργος

ΩΡΑΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ(Μιγαδικοί)

ΩΡΑΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ(Μιγαδικοί)

Re: ΩΡΑΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ(Μιγαδικοί)

Re: ΩΡΑΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ(Μιγαδικοί)

Re: ΩΡΑΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ(Μιγαδικοί)

Re: ΩΡΑΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ(Μιγαδικοί)

Μέλη σε σύνδεση