Εύρεση f

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3689
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Εύρεση f

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Δευ Μαρ 08, 2010 1:44 pm

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις... \color{red}\bf {f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}...,αν και μόνο αν για κάθε... \color{red}\bf{x,y,z \in \mathbb{R}}... με... \color{red}\bf{x-2y+z=0}

ισχύει... \color{red}\bf{f(x)-2f(y)+f(z)=0}


Φωτεινή Καλδή
Κορυφή
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1515
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Παύλος Μαραγκουδάκης

Re: Εύρεση f

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Δευ Μαρ 08, 2010 2:53 pm

Μια σκέψη:
Ας θέσουμε g(x)=f(x)-f(0). Tότε g(0)=0 και η g διατηρεί την ιδιότητα της f. Tότε για κάθε x, y στους πραγματικούς
g(x-y)+g(x+y)=2g(x) οπότε για x=y προκύπτει g(2x)=2g(x).
Ακόμα από την ιδιότητα της g g(2x)+g(2y)=2g(x+y) οπότε g(x)+g(y)=g(x+y). Δηλαδή η g είναι η συνάρτηση Cauchy. Άρα g(x)=ax, οπότε
f(x)=ax+b.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης