ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

1. Έστω

ένας μη μηδενικός nxn

πίνακας. Δείξτε ότι υπάρχει μη μηδενικός nxn

πίνακας

, με

2. Δίνεται ότι μια συνάρτηση

με πεδίο ορισμού το σύνολο

των πραγματικών αριθμών, ικανοποιεί τη συνθήκη
$999f(\pi -x)+998f(x-\pi)=1996.cosx$ . Δείξτε ότι ικανοποιεί και την $\displaystyle{f^2 (\pi+x)+f^2 (\frac{\pi}{2}-x)=\frac{1996^2}{1997^2}}$

3. Θεωρούμε τετράγωνο ABCD

και σημείο

ης προέκτασης της

ώστε

. Αν

το συμμετρικξό του

ως προς το

, να υπολογιστεί η γωνία CBE

.

4. Δίνονται στο επίπεδο m+n

σημεία μη συνευθειακά ανά τρία, όπου m , n

μεγαλύτερα ή ίσα του

. Τα

σημεία είναι χρωματισμένα κόκκινα και τα

είναι χρωματισμένα μπλε.
(ι) Δείξτε ότι αν m=n

, τότε υπάρχει τρόπος να συνδεθούν ορισμένα από αυτά τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι ακόλουθες δύο συνθήκες:
(α) Κάθε σημείο να ανήκει σε ακριβώς τρία ευθύγραμμα τμήματα
(β) Τα άκρα κάθε ευθυγράμμου τμήματος να είναι διαφορετικού χρώματος.
(ιι) Δείξτε ότι, αντίστροφα, αν υπάρχει τρόπος να συνδεθούν ορισμένα από αυτά τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες (α) και (β) , τότε m=n

.

Ιστοσελίδα · #2

Καλησπέρα Δημήτρη. Το τρίτο θέμα είχε συζητηθεί εδώ.

#3

Μία λύση για το δεύτερο.
Αντικαθιστώντας όπου $x\rightarrow \pi-x$ έχω: 999f(x)+998f(-x)=-1996cosx (1)

Αντικαθιστώντας όπου $x\rightarrow \pi+x$ έχω: 999f(-x)+998f(x)=-1996cosx (2)

Τώρα από τις (1),(2)

λαμβάνω εύκολα: $f(x)=f(-x),\forall x\in\mathbb{R}.$
Πρόκειται λοιπόν για μία άρτια συνάρτηση. Τότε η δοθείσα τότε γίνεται:
${999f(\pi-x)+998f[-(\pi-x)]=1996cosx\Rightarrow 999f(\pi-x)+998f(\pi-x)=1996cosx\Rightarrow 1997f(\pi-x)=1996cosx\Rightarrow f(\pi-x)=\frac{1996cosx}{1997}$ $\forall x\in\mathbb{R}$ ή
$f(x)=\frac{1996cos(\pi-x)}{1997}\Rightarrow f(x)=-\frac{1996cosx}{1997},\forall x\in\mathbb{R}$
Τώρα θέτοντας $x\rightarrow{\pi +x}$ έχω: $f(\pi+x)=\frac{1996cosx}{1997} (3)$
Επίσης θέτοντας: $x\rightarrow \frac{\pi}{2}-x$ θα έχω:
$f(\frac{\pi}{2}-x)=-\frac{1996cos(\frac{\pi}{2}-x)}{1997}$ δηλαδή $f(\frac{\pi}{2}-x)=-\frac{1996sinx}{1997} (4)$
Αν τώρα υψώσω στο τετράγωνο τις (3),(4)

και προσθέσω κατά μέλη θα πάρω εύκολα τη ζητούμενη.
Καλό βράδυ.

#4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: 2. Δίνεται ότι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών, ικανοποιεί τη συνθήκη
$999f(\pi -x)+998f(x-\pi)=1996.cosx$ . Δείξτε ότι ικανοποιεί και την $\displaystyle{f^2 (\pi+x)+f^2 (\frac{\pi}{2}-x)=\frac{1996^2}{1997^2}}$

viewtopic.php?p=112533#p112533

#5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:1. Έστω ένας μη μηδενικός πίνακας. Δείξτε ότι υπάρχει μη μηδενικός πίνακας , με

Δεν ξέρω τι υπήρχε στην διδακτέα ύλη και αν τα παρακάτω ήταν γνωστά.

Θεωρώ ως γνωστό ότι υπάρχει μη μηδενικό πολυώνυμο

με ελάχιστο βαθμό ώστε f(A) = 0

. Αν ο σταθερός όρος του

είναι 0, τότε επειδή $A \neq 0$ πρέπει το

να είναι τουλάχιστον δευτέρου βαθμού και άρα υπάρχει μη σταθερό πολυώνυμο

ώστε

. Επειδή το

έχει μικρότερο βαθμό από το

τότε $g(A) \neq 0$ . Ορίζουμε B = g(A)

. Τότε

και άρα

. Αν τώρα ο σταθερός όρος του

ισούται με $c \neq 0$ τότε υπάρχει πολυώνυμο

ώστε

. Όπως προηγουμένως βλέπουμε ότι $g(A) \neq 0$ . Ορίζουμε B = -g(A)/c

και παρατηρούμε ότι AB = I

οπότε πάλι (AB)^2 = AB

.

#6

Δημήτρη (Demetres), μάλλον η λύση που μας έδωσες στο ΘΕΜΑ 1, είναι πρωτοεμφανιζόμενη. Η λύση που εγώ γνωρίζω , είναι η εξής:
Ας φανταστούμε έναν πίνακα

τάξεως

, ο οποίος έχει όλα τα στοιχεία του μηδενικά, εκτός από αυτά μιας κάποιας στήλης

, η οποία έχει τα στοιχεία της οποιουσδήποτε αριθμούς, εκτός από το στοιχείο που βρίσκεται στην

γραμμή και την

στήλη, όπου πρέπει να είναι ίσο με μονάδα. Τότε είναι εύκολο να δούμε ότι για αυτόν τον πίνακα, θα ισχύει:

P^2=P

. Θα προσπαθήσουμε λοιπόν να οδηγήσουμε την λύση της άσκησης στην παραπάνω παρατήρηση.

Αρχικά, αφού ο πίνακας

, τάξεως

, είναι διάφορος του μηδενικού (εξ υποθέσεως), θα υπάρχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του διάφορο του μηδενός. Έστω $a_{xy}$ ένα τέτοιο στοιχείο (το οποίο βρίσκεται στην

γραμμή και την

στήλη). Θεωρούμε τον πίνακα

, τάξεως

, ο οποίος έχει όλα τα στοιχεία του ίσα με μηδέν , εκτός αυτό που βρίσκεται στην

γραμμή και την

στήλη, που το λαμβάνουμε ίσο με $\displaystyle{\frac{1}{a_{xy}}}$ .
Αν κάνουμε τον πολλαπλασιασμό $\displaystyle{A.B}$ , θα δούμε ότι είναι της μορφής που αναφέραμε στην αρχή.

Άρα θα ισχύει ότι $\displaystyle{(AB)^{2}=AB}$ .

#7

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:4. Δίνονται στο επίπεδο σημεία μη συνευθειακά ανά τρία, όπου μεγαλύτερα ή ίσα του . Τα σημεία είναι χρωματισμένα κόκκινα και τα είναι χρωματισμένα μπλε.
(ι) Δείξτε ότι αν , τότε υπάρχει τρόπος να συνδεθούν ορισμένα από αυτά τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι ακόλουθες δύο συνθήκες:
(α) Κάθε σημείο να ανήκει σε ακριβώς τρία ευθύγραμμα τμήματα
(β) Τα άκρα κάθε ευθυγράμμου τμήματος να είναι διαφορετικού χρώματος.
(ιι) Δείξτε ότι, αντίστροφα, αν υπάρχει τρόπος να συνδεθούν ορισμένα από αυτά τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες (α) και (β) , τότε .

( $\Rightarrow)$ : Έστω m=n

.

Ονομάζουμε με $\displaystyle{A_1 ,A_2 ,A_3 , . . . , A_{m-2} , A_{m-1} , A_m}$ , τα σημεία που έχουν κόκκινο χρώμα και με

$\displaystyle{B_1 , B_2 , B_3 , . . . , B_{m-2} , B_{m-1} , B_m}$ , τα σημεία που έχουν μπλε χρώμα.

Συμδέουμε τα πιο πάνω σημεία με τον εξης τρόπο:

* Το $\displaystyle{A_1}$ , το συνδέουμε με τα σημεία $\displaystyle{B_1 , B_2 , B_3}$

* Το $\displaystyle{A_2}$ , το συνδέουμε με τα σημεία $\displaystyle{B_2 , B_3 , B_4}$

.....................................................................
.....................................................................
....................................................................

* Tο $\displaystyle{A_{m-2}}$ , το συνδέουμε με τα σημεία $\displaystyle{B_{m-2} , B_{m-1} , B_{m}}$

* Tο $\displaystyle{A_{m-1}$ , το συνδέουμε με τα σημεία $\displaystyle{B_{m-1} , B_m , B_1}$

* Το $\displaystyle{A_m}$ , το συνδέουμε με τα σημεία $\displaystyle{B_m , B_1 , B_2}$

Έτσι, με τον παραπάνω τρόπο που συνδέσαμε τα σημεία, έχουμε αυτό που μας ζητάει η άσκηση.

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ:

Τα κόκκινα σημεία, ορίζουν $\displaystyle{3m}$ ευθύγραμμα τμήματα που έχουν το άλλο άκρο τους σημείο με χρώμα μπλε.

Αλλά υπάρχουν και $\displaystyle{3n}$ ευθύγραμμα τμήματα με χρώμα μπλε στο ένα άκρο τους.

Άρα πρέπει να είναι $\displaystyle{3m=3n\Rightarrow m=n}$

ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση