ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

#1

1. Έστω $\displaystyle{a\neq\pm b}$ και ισχύει $\displaystyle{\frac{5a}{a-b}+\frac{3b}{a+b}=5}$ . Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{A=\frac{10a -4b}{a + 6b}}$ .

2. Να δειχθεί ότι η ακολουθία των αριθμών $\displaystyle{6 , 10 , 14 , 18 , . . . , (4k+2) , . . . }$ , δεν περιέχει κανένα τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.

3. Σε έναν κύκλο ακτίνας

, είναι εγγεγραμμένα δύο κανονικά πολύγωνα. Το εμβαδόν του ενός είναι διπλάσιο του εμβαδού του άλλου. Να βρεθεί η περίμετρος του μεγαλυτέρου.

4. Από τους $\displaystyle{18}$ αριθμούς $\displaystyle{1 , 2 , 3 , . . . , 18}$ , επιλέγουμε στην τύχη

διαφορετικούς. Να δειχθεί ότι από αυτούς τους τέσσερις υπάρχουν δύο, έστω οι a ,b

, με $0<a-b\leq 5$

sokratis lyras · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
4. Από τους $\displaystyle{18}$ αριθμούς $\displaystyle{1 , 2 , 3 , . . . , 18}$ , επιλέγουμε στην τύχη διαφορετικούς. Να δειχθεί ότι από αυτούς τους τέσσερις υπάρχουν δύο, έστω οι , με $0<a-b\leq 5$

Διαμερίζουμε το δοθέν σύνολο σε 3 υποσύνολα A,B,C

με 6 στοιχεία ως εξής:
$A=\left\{1,...,6 \right\}$
$B=\left\{7,...,12\right\}$
$C=\left\{13,...,18 \right\}$
Από αρχή περιστεροφωλιάς,έπεται το ζητούμενο.

freyia · #3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:2. Να δειχθεί ότι η ακολουθία των αριθμών $\displaystyle{6 , 10 , 14 , 18 , . . . , (4k+2) , . . . }$ , δεν περιέχει κανένα τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.

Άμα υποθέσω ότι υπάρχει k_1 ΕΝ

, που να ισχύει ότι $\displaystyle{4k_1 +2=m^2}$ , με mEN

, τότε επειδή το πρώτο μέλος είναι άρτιος, πρέπει να είναι άρτιος και το δεύτερο μέλος. Επομένως πρέπει ο $\displaystyle{m^2}$ να είναι άρτιος και συνεπώς άρτιος πρέπει να είναι και ο $\displaystyle{m}$ . Eπομένως πρ'έπει $\displaystyle{m=2n}$ , με $\displaystyle{nEN}$ . Επομένως θα πρέπει να ισχύει ότι
$\displaystyle{4k_1 +2=(2n)^2\Rightarrow 4k_1 +2=4n^2\Rightarrow 2k_1 +1=2n^2}$ . Δηλαδή βρήκαμε ότι ένας περιττός ισούται με έναν άρτιο αριθμό, που όμως αυτό δεν γίνεται. Επομένως καταλήξαμε σε άτοπο, όταν αποδεχθήκαμε ότι κάποιος αριθμός από τους $\displaystyle{6 , 10 , 18 , . . . (4k+2) , . . . }$ είναι τέλειο τετράγωνο. Άρα κανέας τους δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο.

#4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:1. Έστω $\displaystyle{a\neq\pm b}$ και ισχύει $\displaystyle{\frac{5a}{a-b}+\frac{3b}{a+b}=5}$ . Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{A=\frac{10a -4b}{a + 6b}}$ .

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη της $\displaystyle{\frac{5a}{a-b}+\frac{3b}{a+b}=5}$ με (a-b)(a+b)

για να πάρουμε 5a^2 + 5ab + 3ab - 3b^2 = 5a^2 - 5b^2

που δίνει

. Άρα είτε b=0

που δίνει

είτε

που δίνει

. Και τα δύο αποτελέσματα είναι αποδεκτά. Π.χ. το πρώτο για (a,b) = (1,0)

και το δεύτερο για (a,b) = (1,-4)

.

Ευχαριστώ τον Χαρίλαο που πρόσεξε ένα λάθος που είχα στην προηγούμενή μου λύση.

#5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: 3. Σε έναν κύκλο ακτίνας , είναι εγγεγραμμένα δύο κανονικά πολύγωνα. Το εμβαδόν του ενός είναι διπλάσιο του εμβαδού του άλλου. Να βρεθεί η περίμετρος του μεγαλυτέρου.

Έστω ότι τα πολύγωνα έχουν

και

κορυφές. Τότε τα εμβαδά τους είναι $\displaystyle{ \frac{m}{2}R^2 \sin \left( \frac{2\pi}{m}\right)}$ και $\displaystyle{ \frac{n}{2}R^2 \sin \left( \frac{2\pi}{n}\right)}$ αντίστοιχα.

Άρα $\displaystyle{ m \sin \left( \frac{2\pi}{m}\right) = 2n\sin \left( \frac{2\pi}{n}\right).}$

Επειδή όμως το εμβαδόν του κανονικού

-γώνου είναι μικρότερο από το εμβαδόν του κύκλου έχουμε $\displaystyle{ 2n\sin \left( \frac{2\pi}{n}\right) = m \sin \left( \frac{2\pi}{m}\right) \leqslant 2\pi}$ το οποίο δίνει $\sin(x) \leqslant x/2$ , όπου θέσαμε $x = 2\pi/n$ .

Λήμμα: Αν $0 < a < b < \pi/2$ τότε $b\sin(a) > a\sin(b)$ .

Απόδειξη λήμματος: Αν b = a+c

τότε θέλουμε να δείξουμε ότι $a\sin(a) + c\sin(a) > a\sin(a)\cos(c) + a\cos(a)\sin(c)$ . Αυτό είναι άμεσο από τις εξής βασικές ανισότητες για $0 < a,c < \pi/2$
$1 > \cos(c)$
$c > \sin(c)$
$\tan(a) > a$ ή ισοδύναμα $a\cos(a) < \sin(a)$ .

Αν τώρα $n \geqslant 4$ , τότε από το λήμμα θα έχουμε $\displaystyle{ \frac{1}{2} \geqslant \frac{\sin(x)}{x} \geqslant \frac{\sin(2\pi/4)}{(2\pi/4)} = \frac{2}{\pi} > \frac{1}{2},}$ άτοπο.

Οπότε πρέπει n=3

. Τότε έχουμε $\displaystyle{ m \sin \left( \frac{2\pi}{m}\right) = 2n\sin \left( \frac{2\pi}{n}\right) = 3\sqrt{3}.}$

Πάλι από το λήμμα αν m > 6

θα πάρουμε $m\sin(2\pi/m) < 6\sin(2\pi/6) = 3\sqrt{3}$ ενώ αν m < 6

θα πάρουμε $m\sin(2\pi/m) > 3\sqrt{3}$ . Επομένως m=6

. Τότε όμως η περίμετρος του εξαγώνου θα ισούται με

.

parmenides51 · #6

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:2. Να δειχθεί ότι η ακολουθία των αριθμών $\displaystyle{6 , 10 , 14 , 18 , . . . , (4k+2) , . . . }$ , δεν περιέχει κανένα τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.

διαφορετικά εδώ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση