3Η ΠΡΟΚΑΤΑΡΤΙΚΗ ΦΑΣΗ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

#1

Θέμα 1ο
Να προσδιορίσετε τους ακεραίους a,b,c

για τους οποίους ισχύει $a^2<2a+b-c, \ b^2<2b+c-a, \ c^2<2c+a-b$ .

Θέμα 2ο
Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC

φέρνουμε τα ύψη AA_1,BB_1

. Αν η

είναι παράλληλη στην

, η γωνία $\angle{AA_1B_1}$ είναι $30^{\circ}$ και B_1C=5

να προσδιορίσετε τα μέτρα των πλευρών και των γωνιών του τριγώνου ABC

.

Θέμα 3ο
Για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς a,b,c,d

να αποδείξετε ότι το κλάσμα $\dfrac{2a+3c}{2b+3d}$ βρίσκεται μεταξύ των αριθμών $\dfrac{a}{b}, \ \dfrac{c}{d}$ . (Τα b,d

είναι τέτοια ώστε να έχουν έννοια τα παραπάνω κλάσματα).

Θέμα 4ο
Θεωρούμε μία τριγωνική τοποθέτηση των αριθμών 0,1,2,3...

. Οι αριθμοί που βρίσκονται στο εσωτερικό του τριγώνου είναι ίσοι με το άθροισμα των δύο γειτονικών αριθμών της προηγούμενης σειράς. Για παράδειγμα οι έξι πρώτες σειρές είναι:
$\begin{tabular}{lllllllllll} &&&&&0&&&&& \\ &&&&1&&1&&&& \\ &&&2&&2&&2&&& \\ &&3&&4&&4&&3&& \\ &4&&7&&8&&7&&4& \\ 5&&11&&15&&15&&11&&5 \\ \end{tabular}$
Έστω s(n)

το άθροισμα των αριθμών της

σειράς. Να προσδιορίσετε τα δύο τελευταία ψηφία του s(100)

.

Αλέξανδρος

#2

cretanman έγραψε:Θέμα 1ο
Να προσδιορίσετε τους ακεραίους για τους οποίους ισχύει $a^2<2a+b-c, \ b^2<2b+c-a, \ c^2<2c+a-b$ .

Έχουμε ότι

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2} \le 2a + b - c - 1}\\ {{b^2} \le 2b + c - a - 1}\\ {{c^2} \le 2c + a - b - 1} \end{array}} \right\} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \le {{\left( {a - 1} \right)}^2} \le b - c}\\ {0 \le {{\left( {b - 1} \right)}^2} \le c - a}\\ {0 \le {{\left( {c - 1} \right)}^2} \le a - b} \end{array}} \right\} \Rightarrow c \le b \le a \le c}$ ,

οπότε

$\displaystyle{\boxed{a = b = c = 1}}$ .

#3

cretanman έγραψε:Θέμα 2ο
Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρνουμε τα ύψη . Αν η είναι παράλληλη στην , η γωνία $\angle{AA_1B_1}$ είναι $30^{\circ}$ και να προσδιορίσετε τα μέτρα των πλευρών και των γωνιών του τριγώνου .

Εφόσον $\displaystyle{\angle A{A_1}B = \angle A{B_1}B = {90^ \circ }}$ , το τετράπλευρο $\displaystyle{AB{A_1}{B_1}}$ θα είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου $\displaystyle{AB}$ . Άρα, θα είναι

$\displaystyle{\angle A{A_1}{B_1} = \angle AB{B_1} = {30^ \circ }.}$

Είναι όμως και

$\displaystyle{\angle A{A_1}{B_1} = \angle {A_1}AB = {30^ \circ },}$

ως εντός εναλλάξ. Άρα, θα είναι $\displaystyle{\angle CAB = \angle CBA = {60^ \circ }}$ , οπότε το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ισόπλευρο και τα ύψη του $\displaystyle{A{A_1}}$ και $\displaystyle{B{B_1}}$ είναι και διάμεσοι. Άρα, θα είναι

$\displaystyle{AB = BC = CA = 10.}$

#4

cretanman έγραψε: Θέμα 4ο
Θεωρούμε μία τριγωνική τοποθέτηση των αριθμών . Οι αριθμοί που βρίσκονται στο εσωτερικό του τριγώνου είναι ίσοι με το άθροισμα των δύο γειτονικών αριθμών της προηγούμενης σειράς. Για παράδειγμα οι έξι πρώτες σειρές είναι:
$\begin{tabular}{lllllllllll} &&&&&0&&&&& \\ &&&&1&&1&&&& \\ &&&2&&2&&2&&& \\ &&3&&4&&4&&3&& \\ &4&&7&&8&&7&&4& \\ 5&&11&&15&&15&&11&&5 \\ \end{tabular}$
Έστω το άθροισμα των αριθμών της σειράς. Να προσδιορίσετε τα δύο τελευταία ψηφία του .

Αλέξανδρος

Ισχυριζόμαστε ότι s(n) = 2^n - 2

. Ο ισχυρισμός ισχύει για n=1

. Για το επαγωγικό βήμα αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε $n \geqslant 1$ ισχύει ότι s(n+1) = 2s(n) + 2

. Πράγματι αν ο ισχυρισμός ισχύει για n=k

τότε θα ισχύει και για n=k+1

αφού τότε θα έχουμε $s(k+1) = 2s(k) + 2 = 2^{k+1} - 2$ .

Μένει λοιπόν να δειχθεί ότι s(n+1) = 2s(n)+2

. Αυτό είναι άμεσο αφού για να πάρουμε τους αριθμούς της n+1

σειράς προσθέτουμε τους αιρθμούς της

σειράς δύο φορές. Μία στην θέση κάτω αριστερά και μία στην θέση κάτω δεξιά. Η μόνη διαφορά είναι ότι στον πρώτο και τελευταίο αριθμό της n+1

σειράς πρέπει επιπλέον να προσθέσουμε από

και για αυτόν τον λόγο προκύπτει το

στον τύπο.

Τώρα μένει να βρούμε τα τελευταία δύο ψηφία του $2^{100}-2$ . Έχουμε $2^{100} \equiv 0 \bmod 4$ . Επίσης από Fermat-Euler, αφού $\phi(25) = 20$ έχουμε $2^{20} \equiv 1 \bmod 25$ και άρα $2^{100} \equiv 1 \bmod 25$ . Άρα $2^{100} \equiv 76 \bmod 100$ και $2^{100} - 2 \equiv 74 \bmod 100$ , δηλαδή τα δυο τελευταία ψηφία του s(100)

είναι

.

#5

cretanman έγραψε: Θέμα 3ο
Για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι το κλάσμα $\dfrac{2a+3c}{2b+3d}$ βρίσκεται μεταξύ των αριθμών $\dfrac{a}{b}, \ \dfrac{c}{d}$ . (Τα είναι τέτοια ώστε να έχουν έννοια τα παραπάνω κλάσματα).

Ας το κλείνουμε και αυτό.

Ας υποθέσουμε πρώτα ότι $\displaystyle{ \frac{a}{b} \leqslant \frac{c}{d}.}$ Επομένως $ad \leqslant bc$ . Τότε

$\displaystyle{ \frac{2a+3c}{2b+3d} - \frac{a}{b} = \frac{3(bc-ad)}{b(2b+3d)}} \geqslant 0$

και

$\displaystyle{ \frac{c}{d} - \frac{2a+3c}{2b+3d} = \frac{2(bc-ad)}{d(2b+3d)}} \geqslant 0$ .

Επομένως $\displaystyle{ \frac{a}{b} \leqslant \frac{2a+3c}{2b+3d} \leqslant \frac{c}{d}.}$

Η περίπτωση όπου $\displaystyle{ \frac{a}{b} \geqslant \frac{c}{d}}$ είναι παρόμοια.

3Η ΠΡΟΚΑΤΑΡΤΙΚΗ ΦΑΣΗ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

3Η ΠΡΟΚΑΤΑΡΤΙΚΗ ΦΑΣΗ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: 3Η ΠΡΟΚΑΤΑΡΤΙΚΗ ΦΑΣΗ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: 3Η ΠΡΟΚΑΤΑΡΤΙΚΗ ΦΑΣΗ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: 3Η ΠΡΟΚΑΤΑΡΤΙΚΗ ΦΑΣΗ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: 3Η ΠΡΟΚΑΤΑΡΤΙΚΗ ΦΑΣΗ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Μέλη σε σύνδεση