ΘΑΛΗΣ 2000 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Δίνονται οι παραστάσεις $\displaystyle{ A = 5^2 − 2^4 : 2^3 + 1}$ και $\displaystyle{B = (5^2 − 2^4) : (2^3 + 1)}$ .
Να βρεθούν οι $\displaystyle{A,B}$ και να συγκριθούν οι αριθμοί $\displaystyle{\frac{A }{20B } , \frac{22B }{A}}$ .

2. Του τραπεζίου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ ( $\displaystyle{A\Delta // B\Gamma}$ ) δίνονται: (α) $\displaystyle{ AB= \Gamma\Delta= 12}$ μέτρα (β) Η περίμετρός του $\displaystyle{54}$ μέτρα (γ) Το εμβαδό του $\displaystyle{E = 120}$ τ.μ.
Να βρείτε το ύψος του $\displaystyle{\upsilon }$ .

3. Στο σχήμα δίνονται:
(α) $\displaystyle{\left( \varepsilon_1 \right) //\left( \varepsilon_2 \right)}$
(β) $\displaystyle{AB = A\Gamma}$ και $\displaystyle{\widehat{BA\Gamma}= 20^o}$
(γ) Η $\displaystyle{B\Delta}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{AB\Gamma}}$
(δ) $\displaystyle{\Gamma Z \bot A\Gamma }$ .
Να βρείτε τις γωνίες $\displaystyle{\varphi=\widehat{\Gamma\Delta E}}$ , $\displaystyle{\theta =\widehat{AE\Delta }}$ και $\displaystyle{\omega}$ .
Να εξηγήσετε γιατί οι ευθείες $\displaystyle{BE}$ και $\displaystyle{\Gamma Z}$ δεν είναι παράλληλες.

: 8alis 2000 3o.png (11.78 KiB) Προβλήθηκε 1968 φορές

4. Δίνονται οι παραστάσεις: $\displaystyle{A= 2 + \frac{3}{2}+ \frac{4}{3}+ \frac{5}{4}+ … +\frac{2001}{2000} }$ και $\displaystyle{B = 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ … + \frac{1}{1999} + \frac{1}{2000}}$ .
Να βρείτε τον αριθμό $\displaystyle{A − B}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:4. Δίνονται οι παραστάσεις: $\displaystyle{A= 2 + \frac{3}{2}+ \frac{4}{3}+ \frac{5}{4}+ … +\frac{2001}{2000} }$ και $\displaystyle{B = 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ … + \frac{1}{1999} + \frac{1}{2000}}$ .
Να βρείτε τον αριθμό $\displaystyle{A − B}$ .

εδώ (άσκηση 18)

Υ.Γ. Θεωρώ πως τις αριθμητικές παραστάσεις οι μαθητές μπορούν να τις λύσουν αρκετά εύκολα,
αλλά αν δεν ασχοληθούν θα τις λύσουμε κι αυτές εμείς, να μην μένουν άλυτες τουλάχιστον ...

freyia · #3

parmenides51 έγραψε:3. Στο σχήμα δίνονται:
(α) $\displaystyle{\left( \varepsilon_1 \right) //\left( \varepsilon_2 \right)}$
(β) $\displaystyle{AB = A\Gamma}$ και $\displaystyle{\widehat{BA\Gamma}= 20^o}$
(γ) Η $\displaystyle{B\Delta}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{AB\Gamma}}$
(δ) $\displaystyle{\Gamma Z \bot A\Gamma }$ .
Να βρείτε τις γωνίες $\displaystyle{\varphi=\widehat{\Gamma\Delta E}}$ , $\displaystyle{\theta =\widehat{AE\Delta }}$ και $\displaystyle{\omega}$ .
Να εξηγήσετε γιατί οι ευθείες $\displaystyle{BE}$ και $\displaystyle{\Gamma Z}$ δεν είναι παράλληλες.

$\displaystyle{\widehat{A}=20^{o}}$ και $\displaystyle{AB=A\Gamma}$ . Επομένως:

$\displaystyle{\widehat{AB\Gamma}=\widehat{A\Gamma B}=80^{o}}$

$\displaystyle{\widehat{AB\Gamma}=80^{o}\Rightarrow \widehat{AB\Delta}=40^{o}\Rightarrow \widehat{A\Delta B}=120^{o}=\phi}$

$\displaystyle{\widehat{A\Gamma B}=80^{o}\Rightarrow \widehat{\Delta AE}=80^{o}}$ ,(ι)

$\displaystyle{\phi=120^{o}\Rightarrow \widehat{A\Delta E}=60^{o}}$ , (ii)

Από (i) , (ii) $\displaystyle{\Rightarrow \theta =180-80-60=40^{o}}$

Τέλος, $\displaystyle{\omega =180-90-80=10^{o}}$

Επειδή $\displaystyle{\omega \neq \theta}$ , οι ευθείες $\displaystyle{BE , \Gamma Z}$ , δεν είναι παράλληλες.

parmenides51 · #4

freyia έγραψε:
parmenides51 έγραψε:3. Στο σχήμα δίνονται:
(α) $\displaystyle{\left( \varepsilon_1 \right) //\left( \varepsilon_2 \right)}$
(β) $\displaystyle{AB = A\Gamma}$ και $\displaystyle{\widehat{BA\Gamma}= 20^o}$
(γ) Η $\displaystyle{B\Delta}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{AB\Gamma}}$
(δ) $\displaystyle{\Gamma Z \bot A\Gamma }$ .
Να βρείτε τις γωνίες $\displaystyle{\varphi=\widehat{\Gamma\Delta E}}$ , $\displaystyle{\theta =\widehat{AE\Delta }}$ και $\displaystyle{\omega}$ .
Να εξηγήσετε γιατί οι ευθείες $\displaystyle{BE}$ και $\displaystyle{\Gamma Z}$ δεν είναι παράλληλες.

8alis 2000 3o.png (13.5 KiB) Προβλήθηκε 1854 φορές

$\displaystyle{\widehat{A}=20^{o}}$ και $\displaystyle{AB=A\Gamma}$ . Επομένως:

$\displaystyle{\widehat{AB\Gamma}=\widehat{A\Gamma B}=80^{o}}$

$\displaystyle{\widehat{AB\Gamma}=80^{o}\Rightarrow \widehat{AB\Delta}=40^{o}\Rightarrow \widehat{A\Delta B}=120^{o}=\phi}$

$\displaystyle{\widehat{A\Gamma B}=80^{o}\Rightarrow \widehat{\Delta AE}=80^{o}}$ ,(ι)

$\displaystyle{\phi=120^{o}\Rightarrow \widehat{A\Delta E}=60^{o}}$ , (ii)

Από (i) , (ii) $\displaystyle{\Rightarrow \theta =180-80-60=40^{o}}$

Τέλος, $\displaystyle{\omega =180-90-80=10^{o}}$

Επειδή $\displaystyle{\omega \neq \theta}$ , οι ευθείες $\displaystyle{BE , \Gamma Z}$ , δεν είναι παράλληλες.

parmenides51 έγραψε:1. Δίνονται οι παραστάσεις $\displaystyle{ A = 5^2 − 2^4 : 2^3 + 1}$ και $\displaystyle{B = (5^2 − 2^4) : (2^3 + 1)}$ .
Να βρεθούν οι $\displaystyle{A,B}$ και να συγκριθούν οι αριθμοί $\displaystyle{\frac{A }{20B } , \frac{22B }{A}}$ .

$\displaystyle{ A = 5^2 − 2^4 : 2^3 + 1}$
$\displaystyle{ A = 25− 16 : 8 + 1}$
$\displaystyle{ A = 25− 2 + 1}$
$\displaystyle{ A = 25+1− 2}$
$\displaystyle{ A = 26− 2}$
$\displaystyle{ A = 24}$

$\displaystyle{B = (5^2 − 2^4) : (2^3 + 1)}$
$\displaystyle{B = (25 − 16) : (8 + 1)}$
$\displaystyle{B = 9: 9}$
$\displaystyle{B = 1}$

$\displaystyle{\frac{A }{20B }=\frac{24 }{20\cdot 1 }=\frac{24}{20 }=\frac{24:2}{20:2 }=\frac{12}{10 }=\frac{12:2}{10:2 }=\frac{6}{5}}$

$\displaystyle{\frac{22B}{A}=\frac{22\cdot 1 }{24 }=\frac{22}{24}=\frac{22:2}{24:2}=\frac{11}{12}}$

α΄τρόπος

$\displaystyle{\frac{11}{12} <\frac{12}{12} =1=\frac{5}{5} <\frac{6}{5}}$ άρα $\displaystyle{\frac{11}{12} <\frac{6}{5}}$ άρα $\displaystyle{\frac{22B}{A}<\frac{A }{20B }}$

β΄τρόπος

$\displaystyle{\frac{6}{5}=\frac{6\cdot 12}{5\cdot 12}=\frac{72}{60}}$

$\displaystyle{\frac{11}{12}=\frac{11\cdot 5}{12\cdot 5}=\frac{55}{60}}$

$\displaystyle{\frac{72}{60} > \frac{55}{60}}$ άρα $\displaystyle{\frac{6}{5}>\frac{11}{12}}$ άρα $\displaystyle{\frac{A }{20B }>\frac{22B}{A}}$

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:2. Του τραπεζίου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ ( $\displaystyle{A\Delta // B\Gamma}$ ) δίνονται: (α) $\displaystyle{ AB= \Gamma\Delta= 12}$ μέτρα (β) Η περίμετρός του $\displaystyle{54}$ μέτρα (γ) Το εμβαδό του $\displaystyle{E = 120}$ τ.μ.
Να βρείτε το ύψος του $\displaystyle{\upsilon }$ .

: 8alis 2000 2o.png (26.98 KiB) Προβλήθηκε 1813 φορές

Θέτω τις βάσεις του τραπεζίου $\displaystyle{B=B\Gamma , \beta=A\Delta}$ .

Το τραπέζιο έχει περίμετρο $\displaystyle{\Pi=AB+B\Gamma+\Gamma\Delta+\Delta A=54 }$ μέτρα

άρα $\displaystyle{12+B+12+\beta=54}$

$\displaystyle{B+\beta+ 12+12=54}$

$\displaystyle{B+\beta+ 24=54}$

$\displaystyle{B+\beta=54-24}$

$\displaystyle{B+\beta=30}$ μέτρα

Το τραπέζιο έχει εμβαδόν $\displaystyle{E=\frac{(B+\beta)\upsilon }{2}=\frac{30 \upsilon}{2}=15\upsilon=120}$ τ.μ.

άρα $\displaystyle{\upsilon=120:15=8}$ μέτρα

ΘΑΛΗΣ 2000 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2000 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2000 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2000 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2000 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2000 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση